I.i.d sachant une variable aléatoire mais pas i.i.d

Sn

Bonjour
Je cherche un exemple de variable i.i.d $X_1,\dots,X_n$ sachant une variable aléatoire $\theta$, sans pour autant que $X_1,\dots,X_n$ soit i.i.d.
Bien cordialement,

Lucas

Bonjour,

Prends $\theta$ aléatoire de la loi de ton choix (par exemple une v.a. de Poisson). Ensuite prends toutes les $X_n$ égales à $\theta$.

Saturne

C'est le cas des variables aléatoires dites "échangeables".

Par exemple prends une variable aléatoire $\Theta$ et deux gaussiennes standard $Z_1$ et $Z_2$, toutes ces v.a. étant indépendantes. Prends $X_1 = \Theta + Z_1$ et $X_2 = \Theta + Z_2$. Alors la loi conditionnelle de $X_1$ et $X_2$ sachant $\Theta$ est la loi de deux v.a. indépendantes $\mathcal{N}(\Theta, 1)$. Mais $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes.