Loi de Dirichlet

Sn

Bonsoir
Ma question est peut-être un peu bête mais je ne parviens pas à comprendre pourquoi mon raisonnement est faux.

Je cherchais la densité marginal de $Z_1$, ainsi, en notant $f$ la densité de $Z_1$,
$$
f(x_1)=\int_{[0,1]^K} \frac{1}{B(a)} \prod_{k=1}^K x_k^{a_k-1} dx_2...dx_k
$$ Par le théorème de Fubini, je pouvais d'abord intégrer selon $x_2$ puis selon $x_3$ etc...
Or, 
$$
\int_{[0,1]} \frac{1}{B(a)} \prod_{k=1}^K x_k^{a_k-1} dx_2=\frac{1}{B(a)} \prod_{k=1,k\neq 2}^K  x_k^{a_k-1}\int_{[0,1]}  x_2^{a_2-1} dx_2
$$ et, $$
\int_{[0,1]}  x_2^{a_2-1} dx_2=\frac{1}{a_2-1}
$$
En réitérant le raisonnement, on obtient $f(x)=x^{a_1-1}\frac{1}{B(a)} \prod_{k=2}^K \frac{1}{a_k-1}$

Bien cordialement,

sevaus

Tu as oublié la contrainte $\sum x_k = 1$ dans ton intégration

Sn

Merci bien ! En effet, mon raisonnement ne prend pas en compte que $x_1$ dépend des autres $x_i$.