Signes logiques

Système

Cette discussion a été créée à partir de réponses séparées de : Christophe C.

biely

Son nom complet est toujours indiqué sur ce forum avec un ancien pseudo...
Il a participé à la publication d’un livre aux éditions Dunod (Maths PCSI) dont un extrait est facilement trouvable sur internet. 
Je lis (page 8):
 ’’Le symbole ⇔ n’est pas correct lorsqu’on écrit un raisonnement. C’est un connecteur

logique, non un connecteur d’inférence. Le mot "donc" lui est préférable.’’
Vous êtes d’accord avec cela?
Pour ma part je préférerais un ’’ssi’’ plutôt qu’un ’’donc’’. 

raoul.S

Je n'ai pas l'impression qu'on puisse "revenir en arrière" avec un donc à la différence d'un ssi.

Dom

C’était plutôt pour $\Rightarrow$ je pense, ce « donc ». Ça semble viser les copies de lycée ou L1 où « implique » est utilisé comme un « Donc ». 

Aucune idée Thierry, je ne le connais pas. 

Math Coss

L'usage de « SSI » souffre du même problème que celui du symbole d'équivalence. Fixons $x\in\R$. Alors $x^2=1$ SSI $x=1$ ou $x=-1$. Cela ne dit pas que l'assertion « $x^2=1$ » est vraie, ni que « $x=1$ ou $x=-1$ » l'est, cela veut dire que les deux assertions sont simultanément vraies ou simultanément fausses.

Deux phrases liées par « donc », c'est différent : cela veut dire que la première est vraie et qu'on déduit que la deuxième est vraie.

Tout ça pour dire que je suis plutôt en accord avec ce qu'a lu @biely même si, dans l'esprit de la remarque de @raoul.S, j'aurais préféré lire $\implies$ à la place de $\iff$.

biely

Pour moi le ’’donc’’ s’utilisait plutôt pour l’implication à la place d’un ”si A alors B’’ à la différence qu’avec ’’donc’’, A est obligatoirement ’’vraie’’. Je dis d’énormes bêtises?
Édit: je n’avais pas vu les réponses de Dom et Math Coss. 

biely

En page 7 je lis ’’implication (que l’on traduira par une expression comme donc, ainsi, par suite)’’. 

JLapin

Par exemple, dans le raisonnement suivant, se trouve un $\Leftrightarrow$ inapproprié selon les critères ci-dessus.
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2457486/#Comment_2457486

Math Coss

C'est vrai mais ce symbole est isolé. De façon générale, je trouve que la rédaction n'est pas le pire péché de l'impétrant, loin s'en faut.

Dom

Sur cet exemple avec les inégalités, c’est amusant car c’est [pourtant] commode de travailler avec le symbole $<=>$ puis de dire « comme on a ce dernier truc (vrai), alors on a le premier truc (vrai aussi) ». 

JLapin

@Math Coss

Je suis d’accord avec toi. Je trouvais juste que c’était un excellent exemple pour illustrer le paragraphe du livre cité plus haut.
Par contre, l’exemple du bouquin me semble lui plus simple et agréable à rédiger avec des équivalences que la correction proposée.

zygomathique

Salut
Pour tous $x$ et $y$ tels que $ xy \ne -1$,
je pose $I = ]-\infty, -1[ ,\  J = ]-1, +\infty[ ,\  I' = ]-\infty, 1[$ et $J' = ]1, +\infty[$.
$ -1 < \dfrac {x + y}{1 + xy}< 1 \Longleftarrow -1 - xy < x + y < 1 + xy \ $ et $\ 1 + xy > 0  \Longleftarrow xy + x + y +1 > 0 $ et
$ xy - x - y + 1 > 0 \Longleftarrow (x + 1)(y + 1) > 0\ $ et $ \ (x - 1)(y - 1) > 0 \Longleftarrow [(x, y) \in I^2 \cup J^2]\ $ et $\ [(x, y) \in I'^2 \cup J'^2] \Longleftarrow (x, y) \in ]-1, 1[^2 $.
  

Dom

Zut ! Je trouve cela horrible. Mais ça vient de moi. 

J’ai pris l’habitude (non pertinente ?) de n’utiliser que des =>, que des $<$, que des $\in$ (et non $\ni$) et $\subset$ (et non dans l’autre sens) et aussi « donc » et jamais (ou très rarement) « car ». 

JLapin

Pour ma part, j'encouragerais un lycéen à chercher au brouillon avec ses petites équivalences mal rédigées puis, au propre, de partir de $(1\pm x)(1\pm y)>0$ pour en déduire les deux inégalités avec des "donc" et des "ensuite on a" alternés.

lourrran

Pour répondre à Math Coss l'utilisation de $\iff$ est souvent une double faute. Déjà pour la raison que tu donnes, mais en plus, souvent, les étapes qui s'enchainent ne sont pas équivalentes. 

La phrase pourrait en fait s'écrire : 
Les symboles $\iff$ et $\implies$ ne sont pas corrects lorsqu’on écrit un raisonnement. Ce sont des connecteurs logiques, non des connecteurs d’inférence. Le mot "donc" leur est préférable.

biely

Lourrran 
Là, je ne suis pas d’accord avec ta variante. On aurait (donc)    un ’’donc’’ fourre-tout sans l’utilisation du ’’si, et seulement si’’?

Dom

Le => et le « donc » ne sont pas la même chose. 

Le <= et le « car » ne sont pas la même chose. 

Le <=> et le [quoi écrire au fait ?]. 

zygomathique

$ \Longrightarrow$ permet de dire dire que si j'ai ça alors j'ai ça

$ \Longleftarrow $ signifie pour avoir cela il (me) suffit d'avoir cela ... et est très utile dans des calculs de limites par la définition par condition suffisante :  

pour avoir $ |f(x) - L | \le \epsilon $ il me suffit d'avoir $ |x - a| \le \eta$

lourrran

Non, ce n'est pas ce que je voulais dire.

On peut bâtir une espèce de matrice avec tous ces connecteurs : 

Avec des symboles : on a $\implies$ ou $\iff$
Quasiment la même chose, mais avec des mots : on a $\text{si ... alors...}$ ou $\text{ssi}$
Autre chose, qui ressemble un peu : on a $\text{donc}$ ou $\text{ce qui est équivalent à}$ 

Dans cette matrice,  $\text{ssi}$ n'est ni dans la même ligne, ni dans la même colonne que $\text{donc}$, et c'est volontaire.  Cette matrice ci-dessus est importante... j'ai essayé de faire un beau tableau Latex mais je ne sais pas faire.

Enchainer des affirmations avec des $\text{Donc}$ est évidemment insuffisant pour montrer une équivalence. 
(0) Si on doit montrer que $A \iff B$, on va dire :
(1) Supposons que A est Vrai ; A est Vrai, donc ... donc ... donc B
(2) Supposons maintenant que B est Vrai ; B est vrai, donc ... donc ... donc A

Dans la ligne (1) , A est Vrai par hypothèse. On peut donc utiliser le connecteur $\text{Donc}$. Et on ne peut plus utiliser le symbole $\implies$ qui aurait une signification un peu différente.
Parfois les lignes (1) et (2) peuvent être regroupées en une seule étape :
(3) supposons que A est Vrai. A est Vrai, ce qui est équivalent à ... , c'est à dire .... , c'est à dire B

Si toutes les étapes sont reliées par le connecteur $\text{c'est à dire}$ ou $\text{ce qui est équivalent à}$, la démonstration est valide.

Par contre, cette démonstration (4) est invalide :
(4) supposons que A est Vrai. A est Vrai, ce qui est équivalent à ... , donc .... , c'est à dire B

Dans les faits, si on doit montrer que $A \iff B$, souvent on va faire : 
(1) Supposons que A est Vrai ; A est Vrai, donc ... donc ... donc B
(2) on vient de montrer que $A \implies B$ , l'implication inverse $B\implies A$ se démontre avec les mêmes calculs.

Héhéhé

S'il pleut, j'apporte un parapluie.
Il pleut donc j'apporte un parapluie.
Ce n'est pas la même chose.

lourrran

C'est marrant, c'est exactement l'exemple ( $\text{pluie} \implies \text{parapluie}$ ) que j'ai failli ajouter.