Conique, polaire et isogonalité

gipsyc
Modifié (December 2023) dans Géométrie
Bonjour
Soient
• une conique.
• un point A extérieur 
• la polaire du point A coupant la conique en P et Q
• le milieu de PQ M 
• une sécante quelconque par M coupant la conique en X et Y

Si l'on considère la conique fixe et le point A variable, à quelle(s) condition(s) imposée(s) au point A les angles PAX et QAY sont-ils égaux quelque soit la sécante par M donnant la corde XY ?
Jean-Pol Coulon 

Réponses

  • garciacapitan
    Modifié (December 2023)
    I find the following (changing M by the feet of the bisectors).
    Let $ABC$ be a triangle, $\Gamma$ a conic such that the polar of $BC$ with respect the conic is $A$.
    Call $L$,$L'$ the feet of the internal and external bisectors of angle $A$.
    If a line through $A$ intersects the conic at $X$ and $Y$ and $X'$, $Y'$ are the second intersections of lines $XL$, $YL$ on the conic then $XY$ and $X'Y'$ are isogonal lines and $XY'$, $X'Y$ go through $L'$.

  • jelobreuil
    Modifié (December 2023)
    Je me permets de traduire
    Je trouve ce qui suit (en remplaçant M par les pieds des bissectrices).
    Soit $ABC$ un triangle, $Γ$ une conique telle que le pôle de $BC$ par rapport à la coonique est $A$.
    Appelons $L, L'$ les pieds des bissectrices interne et externe de l'angle en $A$.
    Si une droite passant par $A$ coupe la conique en $X$ et $Y$ et si $X', Y'$ sont les deuxièmes intersections des droites $XL$ et $YL$ avec la conique, alors $XY$ et $X'Y'$ sont des droites isogonales, et les droites $XY'$ et $X'Y$ passent par $L$. 
    Bien cordialement, JLB
  • gipsyc
    Modifié (December 2023)
    Bonjour
    Suite à la réponse de Francisco Javiar Garcia Capitán, la réponse à ma question devient plus simple.

    Elle soulève d'autres questions comme : indépendamment des droites isogonales, existe-t-il des triangles APQ isocèles tangents par AP et AQ  en P et Q à une conique et dont le sommet A n'est pas sur l'axe de symétrie de cette conique ?

    Cordialement,
    Jean-Pol 
  • pappus
    Modifié (December 2023)
    Mon cher gypsic
    Dans le jargon de ce forum, le triangle $APQ$ est appelé triangle harpon de sommet $A$.
    Soit $APQ$ un triangle harpon de sommet $A$ à une conique $\Gamma$ de centre $O$.
    On sait ou plus exactement on savait que la $A$-médiane du triangle harpon $APQ$ est était le diamètre conjugué du point à l'infini de $PQ$ et qu'à ce titre elle ne peut que passer par le centre $O$ de $\Gamma$, points alignés, extase!
    Si de plus le triangle $APQ$ est isocèle en $A$, la $A$-médiane est orthogonale à $PQ$. 
    Est-ce encore enseigné et dans quelle classe?
    Conclusion: les directions conjuguées $OA$ et $PQ$ sont orthogonales donc parallèles aux axes.
    Donc $OA$ est un axe.
    On voit que ce résultat fait appel à la défunte théorie des coniques projectives et reste donc inaccessible à nos étudiants actuels.
    Bof, cela n'a strictement aucune importance et pour toute conique contentons nous de la seule encore un tant soit peu utilisée, à savoir le $DCT$ pour lequel ce résultat est vrai !
    Amicalement.
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