Transformations à l'école et au collège

hx1_210

@lourrran Perrin est un très bon mathématicien et un excellent professeur dont le cours d’algèbre est LA référence en France.
Tous les agregatifs le connaissent et lui doivent beaucoup.

Il a beaucoup enseigné beaucoup préparé aux concours d’enseignement et beaucoup publié sur les mathématiques d’enseignement.

Son travail en fait une référence

Dom

Un très bon professeur du supérieur. 

Je ne lui retire rien mais dans une telle discussion il faut préciser. 

Sans parler de ce que signifie « bon » dans ce genre de contexte. 

L’énorme majorité trouve ces livres clairs. 

L’énorme majorité qui l’a eu comme prof le trouvait brillant, accessible et agréable. 

Soc

Sans l'avoir eu comme professeur, il est effectivement accessible et agréable. Je suis déjà aller toquer à la porte de son bureau et ai été très agréablement reçu, et par mail également, il a pris le temps de répondre et d'étoffer un peu sa réponse.

Mathurin

Quelques autres textes de Perrin sur le programme de géométrie du Collège.

- une proposition d'axiomatique

- quelques exercices

- comparaison entre deux méthodes

D'une manière générale je vous invite à visiter sa page sur le site de Paris-Saclay
: https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/fr/perso/daniel-perrin/

lourrran

@Soc, j'aimerais bien répondre à ton petit sondage rigolo (lire les autres et répondre à leurs questions, politesse...), mais je n'ai aucun souvenir.  
Et je repose mes questions : 
- En 6ème, on passe combien d'heures (ou de semaines) sur ce sujet des symétries axiales ?
- En 5ème, est-ce que les gamins se souviennent de ce qu'ils ont appris un an auparavant ? On passe combien d'heure en rappel sur le programme de 6ème, on passe combien d'heures sur les symétries centrales ?
J'ai bien vu la réponse de N.Patrois, mais j'en suis quasiment à me demander s'il ne dit pas XXX juste pour me contredire.

nicolas.patrois

lourrrran, je n’écris pas juste pour te contredire (je n’ai pas que ça à faire) mais parce que c’est ce que j’ai vu de mon expérience de prof de sixième.

Sato

@lourrran
Réponse : ça dépend des gens.

Soc

@lourrran Pas mieux que Sato. Il est impossible de répondre à tes questions tant il peut y avoir de réponses différentes. Pour ma part je n'ai pas de 5e, et en 6e je passe très vite sur les symétries axiales, mais c'est un choix personnel.

hx1_210

@lourran enseigner est un métier et la réponse à tes question ne peut se résumer en quelques lignes car c’est toutes la réflexion que mêne l’enseignant face à sa classe et c’est des documents comme ceux de Perrin qui permettent de la nourrir.

Il fut un temps où la préparation du cRPE, du Capes et de l’Agreg, concours bien plus difficiles que les CCP par exemple était le temps privilégié de ces discussions.

Ce temps est malheureusement révolu et cela participe bien plus du désastre actuel que le prétendu ralentissement des classes par les élèves en difficulté.

J’ai dit plus haut la raison de la remise au goût du jour des transformations.
Mais je crois que beaucoup de ce que j’ai écrit ici n’a pas été lu si ce n’est sous l’angle de la polémique.

lourrran

@Soc, ta réponse me convient très bien, et en plus, je pense que tu as raison de passer très vite sur ce chapitre.

J'ai trouvé ce document " https://eduscol.education.fr/document/14014/download attendus de fin de 6ème ", je suppose qu'il est plus ou moins conforme aux programmes actuels. On y parle de symétrie axiale, mais pas des autres transformations, donc ça doit coller plus ou moins.
Et effectivement, si on fait une vague règle de 3 (10 lignes pour les symétries axiales sur un total de 18 pages), ça paraît raisonnable de passer très vite sur ce sujet.

Et ça conforte mon opinion : à quoi ça peut bien servir de parler de symétries axiales à des gamins, pendant 2 ou 3 heures et guère plus, sachant qu'ils vont ensuite attendre 1 an pour aborder le paragraphe suivant, les symétries centrales, et encore un an pour aborder les translations ? 
Avec un peu de chance, on aborde ce chapitre en juin, et le prof de 5ème aborde le chapitre suivant en septembre, ça ne fait que 3 mois de délai... bof bof bof. 
Le petit point qui me rassure quand même un peu, c'est que dans ce chapitre 'symétrie axiale', on demande aussi : 'dessiner la médiatrice d'un segment'.

@hx1_210 : quand je lis ta réponse, ce que j'entends, c'est : enseigner est un métier, et ceux qui ne sont pas enseignants ne devraient pas chercher à savoir ce qui se passe dans les classes. Ceci ne regarde que les profs, on n'a pas envie que des non-profs sachent ce qui se passe.
Ce n'est pas ce que tu as dit, mais c'est ce que j'ai entendu.

Je ne cherche pas à devenir prof. Je ne suis pas un prof débutant qui demande : aidez moi, je ne sais pas comment enseigner. Effectivement, pour ça, ma question n'aurait à peu près aucun sens. Je suis un observateur, rien d'autre. Un observateur bienveillant.

Jaymz

@lourrran
Concernant tes questions, effectivement, comme déjà dit, difficile de répondre. Pour ma part, je passe environ 2-3 semaines sur sym axiale en 6ème.
 Et en 5ème, les élèves globalement se souviennent en quoi ça consiste mais ils seront incapables de te citer le nom de médiatrice. Cela, 1 élève en moyenne dans la classe se souviendra du nom, si t'as du bol, il arrivera à te donner la définition précise et si t'as encore plus de bol, il pourra te dire qu'un point sur la médiatrice est équidistant des extrémités du segment. 
Ensuite, quand tu parles de sym centrale, 1/4 vont confondre les deux symétries lors de l'évaluation finale, et un autre quart seulement sera capable de dire au moment où il le faut que "la sym centrale conserve les ....". 

biely

En gros cela confirme qu’ils ne retiennent rien du tout. Une rotation? Ouais un truc qui tourne non? Si on doit crier victoire sur ce genre de réponse mieux vaut ne pas faire les transformations au collège car c’est plus une perte de temps qu’autre chose. Comme l’avait dit Sato, faire les translations sans les vecteurs c’est une aberration par exemple. 

kioups

La liaison collège-lycée est aussi sujette à questions. Pour la translation, ça se passe plutôt bien. Les collègues de collège la font en fin de 3ème, on fait les vecteurs dès septembre en seconde et ça passe plutôt bien.

Par contre, on ne parle plus du tout de rotations, homothéties ou triangles semblables. En géométrie plane, il n'y a en gros que les vecteurs au lycée (et la trigo).

gerard0

Bonjour @Soc

Une réponse tardive à ton questionnaire, mais qui parle de l'enseignement des années 1950 à 1970 (désolé, mais j'étais élève à l'époque) :

1/ Qui avait au collège compris que les transformations se déduisaient toutes de la symétrie axiale ?

Je ne risquais pas, puisque les symétries n'étaient connues que par la notion de figures symétriques. On ne voyait les transformations qu'en première, où elles étaient étudiées fortement. Avant, c'était seulement les figures.

2/ Qui avait au collège compris que les propriétés des quadrilatères se démontraient via les transformations ?

On employait à l'époque les symétries pour justifier les propriétés, mais les théorèmes ne parlaient plus des symétries. Cependant, les symétries étaient un outil de preuve (à partir de la quatrième essentiellement) utilisé par les (bons) élèves.

3/ Qui savait démontrer qu'une figure était l'image d'une autre ?

Le mot image n'apparaissait pas au collège, il arrivait avec la définition des fonctions en seconde.

4/ Qui avait compris les données nécessaires pour que tout le monde obtiennent le "même" triangle ?

Presque tous les élèves en fin de quatrième, vu le temps passé sur les "triangles égaux", et une bonne partie d'entre eux en fin de troisième avec les triangles semblables. En entrant en lycée, une bonne proportion des élèves (quand même bien triés ! disons 15 à 20% d'une génération) voyait très facilement des triangles isométriques (ou faussement isométriques) dans une figure complexe.

Voilà mon expérience d'élève. Plus tard, comme prof, en l'absence des cas d'égalité des triangles, j'ai pu utiliser les symétries en quatrième et troisième pour démontrer, une bonne partie des élèves semblait suivre, et faisait effectivement de la géométrie. En troisième, avec une très bonne classe, j'ai pu faire la typologie des déplacements. Mais c'était exceptionnel. Et c'était vers 1985. Cependant, la géométrie a toujours été difficile, chaque exercice demande une forte adaptation, peu de répétition systématique.

Une dernière chose, en lien avec la remarque de Daniel Perrin sur le vectoriel. J'ai commencé à enseigner en 1973 en classe de seconde, avec des élèves refusés en grande partie dans des secondes "normales", donc en lycée technique. Le programme faisait une grande part à l'algèbre linéaire (espaces vectoriels de dimension finie) et il fallait le faire, car c'était la base ensuite en E (même programme ensuite que les C et D). En première F (devenue STI), le produit scalaire était défini comme une forme linéaire définie positive .. Pour des recalés de l'enseignement long, c'était évidemment inapplicable, personne ne le faisait. Cela explique les divergences entre ceux qui "ont bien aimé" car à l'aise dans l'abstrait et ceux qui en gardent un mauvais souvenir (jusqu'au dégoût des maths). Et c'est probablement la raison de la phrase de D Perrin.
Cordialement.

Soc

Merci @gerard0 d'avoir pris le temps de répondre en détail. C'est d'autant plus instructif pour moi que je n'ai pas traversé cet enseignement, ayant fait mon secondaire dans les années 80.

Dom

kioups,
dis-tu qu’au lycée on laisse de côté rotation et homothétie ? vraiment ? crois-tu que ce soit plutôt répandu en 2nde ?

Soc

Pour présenter d'une autre façon encore ma préférence pour les triangles égaux, dans les deux cas on cherche à avoir des conditions pour identifier deux figures, mais:

* Avec les transformations il faut se préoccuper de la façon de passer d'une figure à l'autre, pas pour les cas d'égalité.
* Avec les transformations il faut de toute façon expliquer pourquoi une figure est l'image de l'autre, ce qui revient à identifier des triangles égaux, en plus compliqué.
* Pour les triangles égaux, on ne regarde que... des triangles. C'est forcement plus simple. On peut ensuite comprendre que l'on peut appliquer le même genre de principe à des figures plus complexes et cela peut être un moyen d'introduire les transformations.

A mon sens les transformations relèvent vraiment de la physique. Elles sont la transposition en mathématiques de la notion de mouvement. D'où la venue naturelle des notions d'antécédent et d'image. Pour les triangles égaux il n'y a pas nécessairement d'avant et d'après. On peut identifier deux parties d'une même figure par exemple. Une difficulté du fait que les transformations soient liées au mouvement, c'est que notre esprit arrête de chercher des justifications mathématiques, vu qu'il voit bien que.

Mathurin

Assez d'accord avec Gérard0 sur son message sur la situation des années 70 (que j'exprime côté élève).

Je reprécise ma position sur la réforme "bourbakiste" ("maths modernes" en fait):

- autant je suis favorable à l'idée d'introduire au collège la théorie naïve des ensembles, les éléments de logique et la définition bourbakiste de fonctions, applications, relations d’ordre et d'équivalence (oui c'est ambitieux et irréaliste aujourd'hui mais peut-être pas demain).

- autant je suis d'accord avec Perrin pour condamner la façon dont elle a traité la géométrie

- reste la question de l'introduction des espaces vectoriels : disons que si l'on créait deux spécialités en première : "mathématiques fondamentales" et "mathématiques appliquées", on pourrait je pense introduire cette notion dans la première spécialité, en classe de première.

kioups

@Dom : dans les programmes de lycée, en seconde, on a les vecteurs. Et quelques rappels de trigonométrie. En première, on a le produit scalaire et la trigonométrie (cercle trigo etc). En terminale, les fonctions trigonométriques et c'est tout. Rotations et homothéties interviennent très rarement...

hx1_210

Il y a un monde entre l’esprit des programmes concernant les transformations: faire des dessins et les colorier.

et ce que l’on peut en faire:
notion d’application
démonstrations
introduction à l’algèbre linéaire.

A nous de savoir ce que l’on veut et peut faire en usant de la liberté qu’il nous reste.

Le problème dans la géométrie du collège se trouve surtout dans le fait que nous n’avons que 3,5h !

Parce que sinon les programmes comportent en ce moment les deux approches: groupes de transformation et Euclidienne. 

Sato

Il y a une difficulté avec ces transformations : elles font appel à l’idée de mouvement alors qu’il n’y en a pas. Le mouvement de rotation c’est un chemin dans l’espace des rotations. On entretient une confusion dans la tête des élèves. 

hx1_210

Moi cela ne me choque pas.

Dom

Ok kioups. 

Oui Sato mais je ne sais pas si ça gêne vraiment.
« Rotation » vient bien d’un mouvement. 
« Symétrie axiale » est défini au premier degré avec le pliage, « symétrie centrale » avec le demi-tour. 

« Translation » avec le glissement. 

Évidemment je dis « est défini » et il faut ajouter « empiriquement ». 

Il me semble que tout le monde regarde la flèche d’une translation et compte les carreaux pour partir du début de la flèche jusqu’à son bout.
Pour les rotations, c’est pareil, on cherche comment tourner…
La cinématique n’est pas dans le cours de maths du collégien mais ça existe. Et comme on parle d’images mentales des objets, l’image mentale d’une fonction géométrique se fait avec son début et sa fin mais aussi, j’oserais dire, comme un GIF animé. 

On avait parlé de cette question. Je suis d’accord que cela pose un problème de fondement : l’image ne bouge pas.

lourrran

Tout le vocabulaire sur les transformations s'appuie sur une notion de chronologie/mouvement.
Même le titre du chapitre, le mot transformation.

Dom

Oui. En gros, si on a donné ces mots là, c’est bien qu’ils sont évocateurs de quelque chose. 

lourrran

On prend un triangle de papier/carton, blanc d'un côté, colorié de l'autre. On le fait glisser sur le bureau. Tant qu'on le fait glisser (rotations, dont une rotation particulière, la symétrie centrale, translations), le côté colorié reste visible.
Et quand on fait une symétrie axiale, ce n'est plus la même couleur qui est visible. Si on enchaine 2 symétries axiales, hop, magie, on retombe sur le côté colorié ... On vient de démontrer que la composée de 2 transformations 'négatives' (ou indirectes, ok, prenons le bon mot) donnait une transformation directe.
On reste dans le visuel, le 'on voit que'. Mais en 2 ou 3 semaines, on a vu plus de choses que ce qu'on voit dans le feuilleton actuel.
Avec ce mode feuilleton, un épisode de 4 à 7 heures par an, au début de chaque épisode on rappelle l'épisode précédent ... Dans les feuilletons à petit budget, ça permet de délayer. Avec un scénario maigrichon, on arrive à étirer l'histoire, et faire en sorte d'avoir 10 épisodes de 52 minutes quand ça tiendrait en 3 heures en continu.

Là, j'ai l'impression que c'est pareil. 
Pour des raisons de massification, on se refuse d'aborder le moindre truc un peu compliqué avant la classe de 1ère. Et donc on délaye, on fait en sorte qu'un chapitre s'étale sur 4 ans.

Au fait, dans les symétries axiales, on se limite aux symétries orthogonales, ou pas ?  (en l'occurrence, j'espère qu'on se limite aux symétries orthogonales, et de ce que j'ai pu lire, ça a l'air d'être le cas).

hx1_210

@lourran tu te laisses embarquer dans l'idéologie.

Cela n'a rien à voir avec la massification.

kioups

Je n'ai pas l'impression que ce soit particulièrement "délayé" pour les transformations. On en voit une en 6ème, une autre en 5ème, une autre en 4ème et une dernière (deux même) en 3ème. C'était la même chose il y a 30 ans. Et on ne voyait les compositions uniquement en TS (spé maths avec les similitudes).

hx1_210

@kioups oui mais c'est la mode d'accuser la massification.

Cyrano

@Mathurin : Sans introduire les espaces vectoriels, on pourrait tout de même réintroduire la notion d'équipollence pour avoir une vraie définition de "vecteur libre du plan". Il y a moyen d'avoir un discours rigoureux sans faire de l'algèbre linéaire universitaire.

Encore plus radical, travailler dans $\R^2$ uniquement. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est alors simplement une abréviation pour $B-A$.

Sato

Oui je me rappelle maintenant qu’on en avait déjà parlé il y a longtemps. Notez que l’anglais a rotation et spinning, ce qui a moins d’ambiguïté, sauf pour les français qui méconnaissent le deuxième, pourtant très courant, à cause de leur plus grande familiarité avec le premier pour des raisons évidentes. En français on a rotation et mouvement de rotation… avec rotation qui dans le langage courant signifie généralement mouvement de rotation physique et mouvement de rotation qu’on a envie d’abréger. 

Dans le cas de la symétrie centrale, on comprend bien, même au collège, qu’il n’y a pas de raison de tourner d’un côté plutôt que de l’autre.
J'aimerais trouver un exercice qui permette de faire réfléchir à cette différence mais qui ne soit pas non plus « forcé ». Si c’est possible, même de façon très accessible, ce serait un peu comme faire sentir la différence entre le trait et la droite, entre le pâté du marqueur et le point mathématique, entre le ça fait combien et le nombre rationnel, bref faire un peu sentir ou entrevoir la nature des mathématiques, car je pense que c’est ainsi qu’on donne auprès des élèves de la crédibilité à cette matière. 

hx1_210

Je ne comprends pas ta demande. Je dois être un peu bouché. Peux tu être plus explicite?
La rotation est une application ou une action plutôt qu’un mouvement. Mais elle modélise un mouvement.

Dom

Elle modélise le début et la fin d’un mouvement plutôt. Surtout pour les rotations ou l’angle peut être pris $\pm k\times 360°$. 

Sato

Dans la rotation mathématique, il y a un avant et un après, il n’y a pas de pendant. Pour modéliser le mouvement d’un objet rigide, il faut un chemin dans le produit cartésien de l’espace usuel et de l’espace des rotations, il y a alors une infinité de « pendant » qui sont des rotations.