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Transplantation de fonction stationnaire (Conway)

Bonjour,
Dans cet article de Conway, page 47,
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/conwaysens.pdf
on a deux domaines du plan en forme d'hélice non isométriques mais ayant des aires et  périmètres égaux.
On a une fonction stationnaire sur le premier domaine (nulle sur son bord).
En fait ça correspond à des tambours isospectraux. Ils répondent par la négative à la question de Kac qui demandait si le spectre déterminait
la forme du tambour.
Le premier tambour est constitué de sept triangles ont 3 côtés de longueurs différentes (en traits fins, gras , ou pointillé).
Quand deux triangles sont adjacents ils se correspondent par symétrie par rapport au côté commun (idem pour le deuxième tambour)
On appelle a b c d e et -A -B -C (pourquoi un tel signe ?) la partie de la fonction stationnaire sur chacun des triangles.
Comprenez vous comment Conway transplante par morceaux cette fonction stationnaire sur l'autre domaine. En particulier qu'est ce qui assure
la continuité des dérivées premières et secondes?

Réponses

  • Réponse sur la partie sans importance : le choix des signes pour $-A$, etc., pour le premier tambour doit être motivé par l'intention d'avoir uniquement des signes identiques dans les combinaisons du deuxième tambour. (Ça me rappelle ce Corse qui veut bien révéler – sous le sceau du secret – à Jack Palmer où sont les toilettes.)
  • Bonjour Math Coss,
    Quand on prend l'hélice faite avec des triangles équilatéraux, on peut paver le plan avec l'une de ces hélices. Et on voit qu'il y a des symétries par rapport a 3 translations (deux fois les vecteurs reliant les bouts des pales) ainsi que par des rotations de  2 pi / 3 autour du centre du  triangle central et pi / 3 autour de chacun des extrémité des trois pales. 
    Quand on pave le plan avec des rectangles , en identifiant les côtés opposés on obtient un tore ou un autre suivant l'ordre des collages.
    Je me demande si ici on n'aurait pas un truc semblable en identifiant des triangles trois par trois.
  • Dans le théorème de Sunada, on a un groupe opérant sur une variété riemannienne, Ici le plan pavé d'hélices, avec des sous groupes opérant librement. Si j'ai bien compris il ne doit pas y avoir de points fixes sous l'action de ces sous groupes, Les rotations affines semblent donc exclues, vu que le centre des rotations reste fixe. Pour éviter ce problème on pourrait percer le plan en ces points?
  • Modifié (December 2023)
    Il n'est pas évident du tout quand on voit deux domaines riemanniens isospectraux qu'ils sont une conséquence du
    théorème de Sunada. On en trouve dans la littérature qui ne proviennent pas de la théorie de Sunada. 
    La transplantrion mise en œuvre par Gordon Wolpert n'y fait pas immédiatement référence.
    Je me demande s'il y a un lien direct entre les symétries du pavage et la méthode de transplantation.
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