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Un résidu tout simple

Modifié (December 2023) dans Analyse
Bonjour
la question me paraît très bête mais je n'arrive pas à clarifier
le résidu de 1/(a*z+b*z^2) en 0 est 1/a
sauf… si a=0 auquel cas le résidu est 0.
Cette sorte de discontinuité en a du résidu me choque.
Où est mon erreur ?
Vinz

Réponses

  • L'erreur est d'être choqué. Le résultat est correct.
  • Pour cela, il existe la notion d'ordre du pôle.
  • Disons que $b=1$ pour fixer les idées. Est-ce que tu es choqué par le calcul d'une primitive, selon que $a$ est nul ou pas ?
  • Merci de vos réponses…
    Pour suivre sur la voie de MathCross
    je transpose le problème ainsi :
    je pose disons dans $]0;+\infty[$ et pour $a>0$ :   $f(x)=\dfrac{1}{a\cdot x+x^2}$ et j'en trouve une primitive $F(x)=x\times\dfrac{\ln(1+\frac{a}{x})}{\frac{a}{x}}$.
    La limite simple de $F$ lorsque $a\to0$ est $x\mapsto-x$ tandis que si je reprend la question pour $a=0$ j'obtiens $F(x)=-\frac{1}{x}$.
    Et je suis choqué aussi…

  • Modifié (December 2023)
    Que veux tu dire, Area51, par l'ordre du pôle ?
    Si $a=0$ l'ordre passe de 1 à 2, j'imagine que tu veux parler de ça…
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