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Série de fonctions

Modifié (December 2023) dans Analyse
Bonsoir,
quelqu'un peut m'aider à résoudre l'exercice ci-dessous s'il vous plaît (uniquement la question 5 et 6).
Merci d'avance.

  On pose, pour tout $n\in\N^*$ et tout $x\in\R^+$ : $f_n(x)=\dfrac{e^{-nx}}{(n+x)^2}$.
1- Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum\limits_{n\geq 1} f_n$ sur$~\R^+$.
2- Étudier la continuité de sa somme $S$.
3- Montrer que $S$ est positive et décroissante sur $~\R^+$.
4- Que vaut $S(0)$ ? Calculer $\displaystyle \lim_{x\to\infty} S(x)$.
5- Montrer que $S$ est de classe $~C^1$ sur $[0,+\infty[$.
6- $S$ est-elle dérivable en $0$ ?

Réponses

  • Modifié (December 2023)
    Ne serait-ce pas plutôt $]0,+\infty[$ ?
    Tu peux démontrer que la série des dérivées converge uniformément sur tout compact de $]0,+\infty[$.
  • Ou sur tout intervalle $\left[a,+\infty\right[$ avec $a>0$.
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