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Intégrale de fonctions à valeur dans un espace de Banach

Modifié (December 2023) dans Analyse
J'ai trouvé une définition de cette intégrale dans un excellent livre de jean Saint Raymond "Topologie, calcul différentiel et variable complexe". 
La définition (qui est donné sous la forme d'un théorème) est la suivante : 
Soit $E$ un espace de Banach et un intervalle réel de la forme $[a,b]$. Alors, il existe une unique application linéaire continue $f \mapsto \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ de $\mathcal{C}([a,b],E)$ dans $E$ vérifiant pour toute fonction continue $f$ de $[a,b]$ dans $E$ :
- $|| \int_{a}^{b} f(x) \, dx || \leq |b - a|\sup\limits_{\substack{t \in [a,b] \\}} ||f(t)||$
- Si $f$ est la dérivée d'une fonction $F$ sur $[a,b]$ à valeur dans $E$ qui est de classe $\mathcal{C}^{1}$ alors on a : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$
Dans cette manière de définir l'intégrale, j'ai plusieurs questions :
- Plus loin dans l'ouvrage une certaine inégalité triangulaire est utilisée :  $|| \int_{a}^{b} f(x) \, dx ||_{E} \leq \int_{a}^{b} ||f(x)||_{E} \, dx$. Comment on obtient cette inégalité. J'ai l'impression qu'elle est beaucoup plus sophistiquée que ce théorème qui nous donne une existence et une unicité mais pas une forme de l'intégrale. Alors pour certains espaces, ça coïncide totalement avec des choses qu'on connait alors on peut conclure par unicité mais en général, comment faire ?
- L'intégrale (la fonction allant de $\mathcal{C}([a,b],E)$ dans $E$) dépend de a,b mais aussi de la norme mise sur $E$ ne serait-ce que parce qu'on a besoin de complétude. Ainsi, deux questions viennent à l'esprit. Est-ce que sur un espace on a la même intégrale définit pour toutes les normes permettant la complétude (ça me parait un peu gros) ou est-ce qu'on a au moins la même intégrale pour des normes équivalentes ? 

Réponses

  • Modifié (December 2023)
    Bonjour, 
    Comment est démontré le théorème notamment la partie existence ? Normalement tu peux construire cette intégrale par "l'approche fonction étagées". C'est comme la construction de l'intégrale de Lebesgue.

    Concernant ta deuxième question, si tu changes la norme il n'y a pas de raison que l'intégrale reste la même (parce que les suites convergentes/limites changent), mais généralement dans ce contexte tu ne vas pas changer de norme à toutes les lignes que tu écris. (D'ailleurs tu peux définir encore une autre intégrale sur ce type d'espace sans faire appel à la complétude voir : https://en.wikipedia.org/wiki/Pettis_integral )
    Pour les normes équivalentes c'est la même intégrale, les suites convergentes/limites sont les mêmes pour les deux normes.
  • Modifié (December 2023)
    C'est montré avec des fonctions affines continues par morceaux. Mais dans la preuve le lien n'est pas aussi explicite que pour l'intégrale de Lebesgue. La définition est très abstraite parce qu'on utilise le fait que les fonctions affines continues par morceaux sont denses dans les fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ pour montrer que l'ensemble des fonctions continues admettant une primitive est un ensemble dense dans les fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ (on montre après qu'il y a en fait égalité). Et donc on définit sur cet ensemble l'intégrale comme la différence des primitives puis on utilise un résultat un peu obscur sur les fonctions uniformément continues sur un ensemble dense qui admettent un unique prolongement continue lorsque l'espace d'arrivée est complet. 

    Merci pour le lien Wikipédia je vais y jeter un œil et chercher une preuve de cette fameuse inégalité triangulaire.
  • Ok merci pour ces précisions, 
    J'ai une autre question dans ton texte l'espace des fonction continues de $[a,b]$ dans $E$ est normé ? Si oui quelle est la norme ? Et comment est démontré la continuité de l'application qui à $f$ associe son intégrale?
    Je te demande car une possibilité c'est que l'inégalité triangulaire de l'intégrale c'est peut être là traduction que l'application "intégrale" est linéaire continue donc lipschitzienne et si on choisit bien la norme :  1-lipschitzienne et ça fait apparaître l'inégalité triangulaire. Mais c'est aussi possible que l'inégalité triangulaire intégrale est utilisé pour montrer cette continuité, dans ce cas ce n'est pas a cet endroit qu il faut regarder (car mon raisonnement serait un serpent qui se mord la queue). Je suis sur mon téléphone dans les transports si ce que j'ai dis n'est pas bon je réfléchirais quand j'arrive chez moi sur cette histoire de fonction affine.
  • Modifié (December 2023)
    La manière la plus simple de définir l'intégrale de fonctions d'un segment et à valeurs dans un espace de Banach est de le faire pour des fonctions réglées (par définition les fonctions limites uniformes de fonctions en escalier). L'intégration transforme une suite de Cauchy de fonctions (pour la norme uniforme) en une suite de Cauchy de l'espace en question. Les fonctions continues par morceaux sont des cas particuliers de fonctions réglées (cela s'applique au cas particulier où le Banach est $\R$ lui-même; l'intégrale dde Riemmann est largement surfaite, alors qu'avec les fonctions réglées on peut développer une théorie de l'intégration des fonctions continues par morceaux en 15 minutes).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Barjorvrille la norme de $\mathcal{C}([a,b],E)$ est celle de la convergence uniforme c'est pour cette norme qu'on montre que l'ensemble des fonctions admettant une primitive (qu'on note $D$) est un sous-ensemble dense $\mathcal{C}([a,b],E)$. La preuve de la continuité vient de ce théorème de prolongation des fonctions uniformément continues sur des sous ensemble denses quand elles sont à valeur dans un espace complet. En fait, la marche c'est : 
    On définit l'intégrale sur $D$ comme la différence de la primitive évaluée en $b$ et en $a$ (puisqu'on est sur $D$, on triche pas). On voit que c'est linéaire et lipschitzien donc linéaire et uniformément continue et donc on prolonge de manière continue en une unique fonction continue sur $\mathcal{C}([a,b],E)$ (quand on regarde la manière dont on est construit la prolongation il est évident qu'on obtient à la prolongation une application linéaire).

    Il y a un énoncé et une démonstration de ce théorème ici : https://agreg-maths.fr/uploads/versions/1005/Prolongement d'applications uniformes.pdf

    Maintenant on sait que cette application qu'on va noter $T_{a,b}$ est linéaire continue donc on sait qu'il y a $M$ > 0 tel que $\forall f \in \mathcal{C}([a,b],E)$ on a $||\int_{a}^{b} f(t) \, dt||_{E} \leq M||f||_{\infty}$. Mais ducoup ça donne une majoration du même style que le premier tiret du théorème, non ? 
  • Modifié (December 2023)
    Avec le lien que tu m'as envoyé, j'ai pu découvrir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_de_Bochner. Par unicité, ça coïncide et on en déduit la propriété d'inégalité triangulaire.
  • Modifié (December 2023)
    Dans la page wiki que tu viens d'envoyer tu peux voir que ça parle de fonctions étagées c'est de ça que je parlais au premier message que j'ai envoyé. Avec cette construction c'est assez facile de montrer l'inégalité triangulaire, et le message de @Foys est dans le même esprit.
    Le truc qui me dérange avec ton argument d'unicité c'est qu'on doit construire l'intégrale à la façon de ton livre et ensuite construire l'intégrale de Bochner, on fait beaucoup de travail :D. Il y a peut-être un moyen de faire autrement à la façon de ton livre (pour le moment je ne vois pas), mais comme il construit directement sur des fonctions compliqués (si j'ai compris il définit en tout premier l'intégrale sur les fonctions continues qui admettent une primitive et c'est compliqué par rapport aux fonctions escaliers/étagées) la manipulation est moins évidente.
    Mais ce n'est pas grave l'important c'est que toi tu sois satisfait.
  • Modifié (December 2023)
    Je ne suis pas entièrement satisfait dans les faits tu as raison. Ce qui est fait dans mon livre est un peu inutile si je commence à me baser sur l'intégrale de Bochner qui se suffit à elle-même. En plus, je ne suis pas sûr de savoir correctement faire la preuve que ça coïncide notamment à cause des histoires de primitive. Je vais continuer de chercher pour voir si je peux m'en passer !
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