Oraux ENS/X/Mines/Centrale 2023

etanche

Quand on clique sur le lien de la rms apparaît à l’écran fichier introuvable.
Que faire ?

JLapin

Utiliser ce lien https://www.rms-math.com/exos-etoiles-2023-site.pdf

etanche

@ JLapin le lien que tu viens donner ne fonctionne pas, «serveur introuvable »
Avez-vous la possibilité de mettre le fichier des exercices étoilés pdf en pièce jointe ?

jean-éric

https://prepas.org/index.php?article=181

JLapin

Ce lien fonctionne chez moi, y compris en navigation privée. Probablement un problème de réglage de ton navigateur...

jean-éric

Cela ne fonctionne pas chez moi, ni sous Safari ni sous Firefox contrairement à @JLapin

etanche

Pareil sous safari ça ne fonctionne plus, ça marchait la semaine dernière.

JLapin tu utilises quel navigateur ?

JLapin

Firefox mais aussi Edge pour en tester un autre.
Si tu es courageux, tu peux tenter cette manip
https://www.commentcamarche.net/maison/reseau-wifi/749-changer-de-serveur-dns-sur-pc-et-sur-mac/

etanche

Je viens d’essayer sur un autre ordinateur par google chrome, firefox pas moyen d’accéder au site de la RMS. 

JLapin

J'ai réessayé d'ailleurs : effectivement, comme pour libgen, il me faut un VPN sinon ça ne fonctionne pas. C'est un problème de DNS me semble-t-il.

etanche

Le site de la RMS fonctionne de nouveau.

etanche

Pour le 356 la dernière question pour le développement à 4 termes avez-vous trouvé 
$$\frac{4}{x}-\frac{4}{x^3}+\frac{12}{x^5}-\frac{60}{x^7}+O(\frac{1}{x^9})$$ après plusieurs intégration par parties.
Merci pour une confirmation.

jandri

Il faut tout diviser par 4.

Plus généralement : $$f(x)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\dfrac{1\times3\times\dots\times(2k-1)}{x^{2k+1}}+o\left(\dfrac1{x^{2n+1}}\right)$$

etanche

@ jandri effectivement faut diviser par 4. Merci pour ta relecture.

etanche

Pour les inégalités du 356, il s’agit des inégalités de Komatsu que l’on trouve dans 
K. Ito, H. P. McKean, Diffusion processes and their sample paths, Springer-Verlag, 1965. pp 17.
Méthode pour prouver les inégalités du 356 voir exercice 3.6 http://math.univ-lyon1.fr/~aubrun/enseignement/M2R-2019/2019/exo-3.pdf

bisam

Bonjour
J'ai besoin d'aide pour le numéro 120 (ci-dessous) qui traite de la fonction de Von Mangoldt (pour attirer le chaland arithméticien).

On arrive sans trop de difficulté à faire les deux premières questions.

J'imagine bien une inégalité des accroissements finis pour montrer la dernière en utilisant le résultat de la précédente... mais je ne vois pas du tout comment prouver le résultat demandé à la question c, ni même le rapport avec les questions précédentes.

Je connais bien sûr le résultat similaire pour la fonction $\zeta$... mais là encore le lien n'est pas évident, à moins d'obtenir une approximation tellement bonne que l'on puisse en prendre le logarithme puis la dériver, ce qui n'est pas près d'arriver !

Pouvez-vous m'indiquer comment faire (en restant dans le cadre des prépas, donc, en particulier, sans analyse complexe) ?

JLapin

On est d'accord, que démontrer c) revient à montrer que $$\dfrac{\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\ln n}{n^s}}{\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^s}} - \dfrac{1}{s-1}$$ est borné au voisinage de $1^-$ ?

Ça semble pouvoir se faire par comparaison avec des intégrales je suppose...

Ou alors, en remplaçant $\ln n$ par $\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ au numérateur et en vérifiant que ce changement n'impacte pas trop le reste.

bisam

À vrai dire, ce n'est même pas aussi simple puisque : \[\sum_{n\in\N^*}\frac{\Lambda(n)}{n^s} = \sum_{p\in\mathcal{P}} \sum_{k\in\N^*}\frac{\ln(p)}{p^{ks}} = \sum_{p\in\mathcal{P}} \frac{\ln(p)}{p^s-1} \neq \sum_{p\in\mathcal{P}} \frac{\ln(p)}{p^s}\]

JLapin

Mais la différence est facilement contrôlable, non ?

LOU16

Bonjour,

Il me semble qu'à l'aide de comparaisons série-intégrale, on peut  établir que:

 $\displaystyle \sum_{n\in \N^*}\dfrac 1{n^s} \underset{s\to 1^+}=\dfrac 1{s-1}+ \mathcal O(1),\quad \sum_{n\in \N^*}\dfrac {\ln (n)}{n^s} \underset{s\to 1^+}=\dfrac 1{(s-1)^2}+ \mathcal O(1),\:\:$ puis avec la question $b:\:\: \displaystyle \sum_{n\in \N^*}\dfrac{\Lambda(n)}{n^s}\underset{s\to 1^+}=\dfrac 1{s-1}+ \mathcal O(1).$

Ensuite: $\:\:\displaystyle \sum_{n\in\N^*}\dfrac {\Lambda(n)}{n^s} -\sum_{p \in \mathcal P} \dfrac{\ln(p)}{p^s}=\sum_{p \in \mathcal P} \ln(p) \sum_{k=2}^{+\infty} \dfrac 1{p^{ks}}= \sum_{p\in \mathcal P}\dfrac {\ln(p)}{p^{2s}(1-p^{-s})} \underset{s\to 1^+} =\mathcal O(1).\quad$ Ainsi: $\:\displaystyle \sum_{p \in \mathcal P} \dfrac{\ln(p)}{p^s} \underset{s\to 1^+} =\dfrac 1{s-1}+\mathcal O(1).$

bisam

Effectivement, j'étais resté sur l'idée de dériver $\ln\circ \zeta$... mais il est bien plus simple d'encadrer chaque morceau séparément.
Merci @LOU16 et @JLapin .

Une idée de ce qu'il faut en déduire à la toute fin ? Est-ce simplement que la famille $(\frac{1}{p})_{p\in\mathcal{P}}$ n'est pas sommable ?

JLapin

Je dirais que oui. Si on est ambitieux, on peut en déduire le théorème des nombres premiers mais c'est un peu lointain