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Oraux ENS/X/Mines/Centrale 2023

Modifié (December 2023) dans Analyse
Bonjour 
Voici le fichier des oraux 2023 de la RMS 
https://www.rms-math.com/exos-etoiles-2023-site.pdf
«13

Réponses

  • Modifié (December 2023)
    Déjà, on se demande ce que fait là le 21... On en a parlé longuement sur ce forum, notamment avec FdP, qui s'intéresse aux démonstrations de la somme de la série des inverses carrés. Il s'agit de la méthode de Yaglom, qui date au bas mot d'une soixantaine d'années et peut-être plus, et qu'on trouve déjà notamment dans mon cher : E. Ramis, Exercices d'Analyse, Masson et Cie, 1968, p. 196. Peut-être pourrait-on attendre, de ces exercices de pointe, un peu plus d'originalité ?

  • le 21 c'est exos de terminale C année 1980 
  • le 122 il me semble que c'est fait dans des livres d'exercices sauf erreur f(0)/2 
  • Modifié (December 2023)
    Ensuite, le 19. Ridicule appellation « ensemble intégrable », déjà. Il suffit de prouver que pour tout $n \in \mathbb N$, $n \ge 4$, il existe $n $ points cocycliques dont les distances mutuelles sont toutes  rationnelles, et comme ces points sont en nombre fini, une homothétie idoine rendra les distances toutes entières. Bon, c’était juste la question 5 de la dix-septième Olympiade internationale, 1975. Plus récent, ou plutôt moins ancien que le 21 : seulement 48 ans.
    Rappelons à cette occasion que ce résultat n'est plus vrai si l'on considère un ensemble infini de points au lieu de $n$ points. Le joli théorème d'Erdös-Anning (1945) dit que que si une infinité de points du plan sont tous à des distances entières les uns des autres, alors ils sont tous alignés.
  • Merci pour cette liste.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Le 557, déterminant de Smith, n'est pas non plus un perdreau de l'année.
  • Il est indiqué qu'il est "réservé" aux étudiants, qui eux ne connaissent pas forcément ce grand classique.
  • Modifié (December 2023)
    Il suffit de taper « déterminant de Smith » ou « Smith determinant ».
    H. J. S. Smith (1826 – 1883)
  • Je ne suis pas sûr qu'Internet soit autorisé pendant les épreuves orales.
  • Modifié (December 2023)
    Je n'ai pas compris la différence entre les exercices une étoile et les exercices 2 étoiles.
    C'est quoi PLSR, SR, L, P ? 
  • Modifié (December 2023)
    Je parlais de la préparation.

  • Merci pour la vidéo. 
  • Modifié (December 2023)
    @OShine: C'est quoi PLSR, SR, L, P ? 

    Paris (Ulm), Lyon, Saclay (anciennement Cachan), Rennes.

  • Modifié (December 2023)
    Franchement sans regarder la vidéo, je me suis demandé comment calculer ce déterminant, j'ai essayé de le voir par exemple comme produit $LU$ par exemple, mais rien ne m'inspire. Je suis probablement trop bête, ou c'est l'exo à astuce donc sans grand intérêt.
  • JLTJLT
    Modifié (December 2023)
    @OShine a écrit:
    Je n'ai pas compris la différence entre les exercices une étoile et les exercices 2 étoiles.

    Relis le préambule du document.

  • Modifié (December 2023)
    @Guego
    Merci.

    @math2
    L'auteur de la vidéo, qui a un certain niveau (il ne traite que des exos de niveau XENS), dit que l'exercice est extrêmement difficile et extrêmement astucieux. 
    Il précise bien aussi qu'à l'oral les candidats ne sont pas censés savoir tout faire seuls. 
    Après avoir vu la vidéo, ça ne me semble pas si dur, de plus, il y a une indication dans l'exercice d'oral des Mines avec l'indicatrice d'Euler.

    @JLT
    Ok merci.

    On voit l'importance de la relation $n=\displaystyle\sum_{d \mid n} \varphi(d)$, utile dans 2 exercices de la fiche.
    Cette relation est aussi tombé à l'interne en 2023, elle est partout décidément.
  • Modifié (December 2023)
    @OShine
    tu vas te faire mal voir. Ces exercices ne sont pas simples et regarder une solution n'a rien à voir avec savoir faire seul.

    Cette liste d'exercices où l'on retrouve beaucoup de classiques montre que la réussite à ces concours est, pour une importante partie culturelle, il faut connaitre et travailler les bonnes sources.
    Cela n'empêche pas que cette culture signe une bonne connaissance des mathématiques.
  • Modifié (December 2023)
    111 la deuxième question théorème de Rouché analyse complexe 

    100 c’est la constante d’Euler
  • Modifié (December 2023)
    Il est écrit :  « Les exercices munis d’une étoile sont réservés aux étudiants, qui y trouveront des questions pas nécessairement plus faciles que celles des exercices doublement étoilés, mais qui ne font appel qu’à peu de connaissances. Les exercices avec deux étoiles sont, comme d’habitude, ouverts à tous. »
    Ce n'est vraiment pas clair. Qui sont ces « tous » qui ne sont pas des étudiants ? Des agriculteurs mathématiciens autodidactes comme ce François Proth du temps jadis évoqué dans un autre fil ?  
    Bien que n'étant pas étudiant, j'ai eu envie de chercher le 519 :  Déterminer tous les couples $(m, n) \in \mathbb N^2$ vérifiant : $3^m = 8 + n^2$. Une équation diophantienne, si elle sort des catégories connues, fait toujours peur car on ne sait pas forcément par quel bout la prendre. Le vieillard que je suis a-t-il le droit d'envoyer sa solution ? Je ne dispose pas comme Romain Gary de cousin qui puisse me servir de prête-nom.
    Ciel, que d'incertitudes dans notre vie...
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Modifié (December 2023)
    519 peut-être résolu par des 2de, 1ère, term on trouve    n=1, m=2
  • Modifié (December 2023)
    @etanche Ma solution pour ce 519 ne demande pas grand'chose, mais tout de même l'utilisation des congruences. En droit on peut les remplacer par des divisions euclidiennes, mais je n'ai pas l'impression qu'il y ait de l'arithmétique au programme de Première ni de Seconde, je peux me tromper car je ne connais pas dans le détail le programme de ces classes. De plus, la capacité de trouver le bon modulo et de combiner tout ça pour conclure, je ne vois pas ça en Première ni Seconde, sauf peut-être dans un club de maths. À moins que tu n'aies trouvé une solution plus simple.
  • Modifié (December 2023)
    Il est clair que $m=0$ et $m=1$ ne donnent aucune solution. Si $m \geq 2$ alors $$3^m = 9 +(n^2-1)$$ et il s'ensuit que $n^2-1 = (n-1)(n+1)$ est divisible par $9 = 3*3.$ Je pense qu'on traite facilement tous les cas possibles sans modulo ou me trompé-je ? 
  • Modifié (December 2023)
    Cyrano, en te suivant, partant de $n^2-1 \equiv 0 ( \mod. 9)$,  l'examen des restes possibles de $n^2$ par $9 $ fait voir que $n \equiv \pm 1 (\mod. 9)$,  Attention, je ne suis pas assez sot pour invoquer une intégrité qui n’existe pas, je regarde simplement les restes possibles. Et ensuite ?
  • JLTJLT
    Modifié (December 2023)
    @Chaurien
    Ce n'est vraiment pas clair. Qui sont ces « tous » qui ne sont pas des étudiants ?

    La phrase me paraît pourtant claire. La RMS incite les lecteurs à envoyer leurs solutions.
    Seuls les étudiants sont autorisés à envoyer des solutions aux exercices à une étoile. Rien n'interdit aux professeurs ou aux agriculteurs de chercher ces exercices, mais ils ne peuvent pas envoyer leurs solutions.
    Pour les exercices à deux étoiles, tout le monde (=étudiants, professeurs, agriculteurs, maçons,...) peut envoyer ses solutions.

  • Je ne vois pas pourquoi cette interdiction, qui me semble une nouveauté sans raison.
  • C'est une façon d'inciter les étudiants à proposer des solutions sans craindre la concurrence de solutions nettement mieux ficelées et proposées par des professeurs chevronnés.
  • @dSP et c’est tout à l’honneur de la RMS qui montre ainsi son soucis d’enseigner.
  • @ dSP et JLT demande de précision pour le 332 le polynôme sous la racine carrée est-ce bien $n^4+an^2+bn+c$ ?
    C’est pas plutôt de degré $3$, $n^3+an^2+bn+c$. 
  • Modifié (December 2023)
    - comment allez-vous vous s'assurer que la personne qui vous soumet une solution d'un exercice simplement étoilé est bien un "étudiant" ?
    - quelle définition du mot "étudiant" utilisez-vous ?
  • JLTJLT
    Modifié (December 2023)
    On ne va pas demander un certificat de scolarité, donc on doit faire confiance. De toute façon il n'y a pas grand chose à gagner. C'est la première année que ce nouveau format est proposé, si le profil des personnes qui envoient des solutions n'est pas ce qu'on souhaite on pourra toujours affiner les conditions l'année prochaine. Disons qu'il est souhaitable que la majorité des solutions des exercices à 1 étoile proviennent d'étudiants en prépa mais les autres types d'étudiants ne sont pas exclus.
  • @Bbidule la concurrence dans les maths c’est moche
    On ne répond pas à ce genre de questions pour la gloire mais pour apprendre ou partager.
    Il faut relire Galois notre Maitre à tous.

    Heureusement que les professeurs de Spé de France et de Navarre savent faire ce genre de planches. 

    C’est bien pourquoi nous les respectons tous.
  • @etanche je n'ai pas cherché l'exo 332 mais à vue de nez l'assertion à démontrer est vraie.
  • Svp restons sur les mathématiques.
  • Modifié (December 2023)
    Entière d'accord avec JLT ne parlez que de maths dans ce fil, sinon les modérateurs vont fermer.
    le 445 avait été discuté sur le forum https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334835/exercice-matrice-polytechnique
  • @etanche oui, il n’est pas trivial et je vais envoyer une proposition de solution.
  • @JLT: merci pour cette réponse pleine de bon sens.
  • Modifié (December 2023)
    Est ce que la 2 est un exercice classique? J'ai essayé de chercher une solution mais en vain. Le mieux que je peux faire est d'avoir une borne $\frac{1}{n}$. Si on considère les $n$ nombres $u_k=\sum_{1\leq k \leq n}{a_k}$ modulo $1$, il y a au moins deux nombres qui sont éloignés d'une distance inférieure à $\frac{1}{n}$, la distance étant la distance sur le tore $R/Z$, par une sorte de principe des tiroirs. Supposons qu'il s'agisse de $u_k$ et $u_l$ où $k<l$. Alors $u_l-u_k=\sum_{k<i \leq l}{a_k}$ est à une distance inférieure à $\frac{1}{n}$ de $0$ (toujours pour la distance sur le tore), ce qui répond presque à la question à condition de pouvoir remplacer $\frac{1}{n}$ par $\frac{1}{n+1}$.
  • Modifié (December 2023)
    Est ce que la 2 est un exercice classique?

    Je ne connais pas : laissons chercher les étudiants puisque c'est un exo simplement étoilé ;)

  • Modifié (December 2023)
    L'exercice 2 est-il « classique » ? Moi je ne le connaissais pas, mais grande est l'étendue de mes ignorances. Il me semble appartenir à la grande famille des problèmes extrémaux, dans la filiation de Ramsey, qui apparaissent assez souvent dans les compétitions mathématiques. Problèmes excitants et redoutables pour moi.
    Maintenant, je n'apprécie pas la soumission à l'autorité que nous propose JLapin. Cette invention d'étoile simple ou double me semble une usine à gaz inopportune, et je pense que tout un chacun peut et doit chercher tout exercice qui lui semble intéressant, et même envoyer sa solution, quitte à déguiser son identité, par exemple :  Roger Cubillo, élève de MP***, lycée Ferdinand Lop, Jouy-sur-Yvette :) .
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Modifié (December 2023)
    Bonjour
    Chaurien, pour ton lycée, il y avait les "pour" et les "anti", si je me souviens bien  :).
    Cordialement,
    Rescassol
  • Maintenant, je n'apprécie pas la soumission à l'autorité que nous propose JLapin.
    J’avais mis un smiley !
  • Modifié (December 2023)
    J'ai l'impression que Dagothur a trouvé la solution. Si l'on considère ses sommes partielles $u_k$ dans $[0,1[$, si on les met dans l'ordre croissant $v_1,...,v_n$, alors avec $0$ et $1$ ça fait bien un partage de $[0,1]$ en $n+1$ segments, certains étant peut-être réduits à un point. La longueur d'un de ces segments sera donc forcément $\le \frac 1{n+1}$. Je conseille donc à Dagothur d'envoyer sa solution, qu'il soit élève du lycée Ferdinand Lop ou plombier mathématicien autodidacte.
  • J'ai eu l'exercice 2 à l'agreg quand je l'ai passée.  @Dagothur a la solution. Pour obtenir $\frac{1}{n+1}$ à la place de $\frac{1}{n}$, il suffit de rajouter un point sur le tore, à savoir $u_0 = 0$.
  • Modifié (December 2023)
    Moi je ne parlerais pas de tore, ça me fait peur, je  resterais peinard dans $\mathbb R$ en considérant les $u'_{i}=u_{i}-\left\lfloor u_{i}\right\rfloor $, éléments de $[0,1[\subset \mathbb{R}$. Question de rédaction, question de goût sans doute. Ça fait penser aux lemmes qu'on rencontre au début de l’étude de la théorie des approximations diophantiennes.
  • MrJMrJ
    Modifié (December 2023)
    J'avais déjà envoyé une solution du 26 pour le magazine Quadrature l'année dernière. On peut effectuer la construction de $P$ par récurrence sur $n\in\N$.
  • Modifié (December 2023)
    RE
    Ceux qui n'étaient ni pour ni contre le regretté Ferdinand Lop, qui avait le front lopulaire, étaient appelés Inter-lop.
    Lop n'était pas qu'un fantaisiste ; dans les années 1920, il avait écrit des ouvrages très sérieux, notamment sur les colonies.
    A+
    Chez les esprits supérieurs, l'abstrait et le concret se fécondent l'un l'autre ; ainsi, on trouve dans Aristote de très pertinentes considérations sur la morphologie du homard.
  • MrJMrJ
    Modifié (December 2023)
    Pour le 332, on avait traité un exercice analogue sur le forum : en raisonnant par l’absurde et en utilisant la dérivation discrète, on obtient qu’il existe $P\in\Q[X]$ tel que $P(n)^2 = n^4 + a n^2 + b n + c$ pour tout $n\in\N$. Comme $b\neq 0$, l’égalité précédente n’est pas possible.

    Je n’ai pas utilisé que $a\neq 0$ et $c\neq 0$ : soit j’ai loupé un détail, soit c’est superflu.
  • @Guego
    On t'a posé l'exercice 2 à un oral d'agreg ?   :o 

  • Non, à l'écrit (c'était une des questions du sujet d'analyse).
  • Modifié (December 2023)
    @Guego C'était aussi simple que ça en fait, merci pour la réponse :)
    @Chaurien Si on place les $v_i$ dans l'ordre croissant sur $[0,1[$, on a un partage du tore en $n$ "segments". On peut le voir sur 2 points, cela donne les intervalles $[u_1,u_2]$ et $[u_2,u_1+1]$.

    Il est peut-être même possible de faire un peu mieux que $\frac{1}{n+1}$. On peut introduire les $n+1$ nombres $\sum_{1\leq k \leq l}{a_{\sigma (k)}}$, $0 \leq l \leq n$, $\sigma$ étant une permutation de $\{1,\dots,n\}$, pour obtenir à nouveau la même conclusion quand à l'existence de l'ensemble $S$ (cf l'énoncé pour la notation). Ma presque-solution n'était finalement que le cas particulier $\sigma =Id$.
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