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Longueur d'un segment

Bonjour,

Je souhaite calculer la longueur d'un segment AB, je sais que I est le milieu du segment et a pour coordonnée (-1;-4) et que A (xA;yA) et B (xB;yB) appartiennent à la courbe représentative de la fonction f: x^3 -x^2 -x-1.

Si j'utilise la norme euclidienne j'obtiens: AB^2= (xB-xA)^2 + (yB-yA)^2,

De plus j'ai le système suivant que je ne sais pas comment résoudre:

xA+xB= -2
yB+yA= -8

f((xB+xA)/2) = ((xA+xB)^3)/8 - ((xA+xB)^2)/4 - ((xA+xB))/2 -1

yA= xA^3 -xA^2 -xA -1
yB= xB^3 -xB^2 -xB -1

Réponses

  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    Il suffit de faire une simple substitution pour tomber sur un système à deux inconnues.
  • La ligne f((xB+xA)/2) = ((xA+xB)^3)/8 - ((xA+xB)^2)/4 - ((xA+xB))/2 -1 ne sert à rien. Elle donne l'évaluation de $f$ en l'abscisse du point $I$, mais c'est hors-sujet ici. Il y a plusieurs manières de faire, en voici une.
    Si $f(x) = x^3-x^2-x-1$, alors pour $x$ et $x'$ quelconques, sous réserve d'absence d'erreur de calcul :
    \begin{align}
    f(x) + f(x') &= (x^3+x'^3) - (x^2+x'^2) - (x+x')-2\\
    &= \left( (x+x')^3-3xx'(x+x')\right) + \left( (x+x')^2-2xx'\right) - (x+x') - 2\\
    &= (x+x')^3 - (x+x')^2 - (x+x') - 2 -xx'( 3(x+x')-2) \\
    &= f(x+x') -1-xx'(3(x+x')-2)
    \end{align}
    Dans ton cas, $x_A+x_B$ est connu, de même que $f(x_A)+f(x_B)$, donc il ne reste plus qu'à remplacer, et tu peux en déduire le produit $x_Ax_B$, etc.
    Après je bloque.
  • Modifié (December 2023)
    C'est bon j'ai trouvé, merci pour ton aide  xA= (sqrt(2)-2)/2 et yA = (9sqrt(2) -16)/4
                                                                       xB= -(sqrt(2)+2)/2 et yB = -(9sqrt(2) +16)/4
    Ce qui donne AB= (sqrt(170))/2




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