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Équations fonctionnelles

Bonjour
Je dois trouver toutes les fonctions f continues sur IR telles que: f(f(x))=-x.

J’ai f(f(0)= 0
f^2n(x)= (-1)^n*x
fof est impaire 
Comment puis-je avancer ?
Merci pour toute aide 

Réponses

  • Il n’existe pas de telles fonctions.
  • MrJMrJ
    Modifié (December 2023)
    Essaye de justifier qu’une telle fonction $f$ serait nécessairement strictement monotone : ça te permettra de conclure facilement.
  • fof est clairement strictement décroissante. f ne peut-ni être croissante ni décroissante car par composition fof serait croissante. Je ne vois pas où est la contradiction. Est-il évident que par ailleurs f est strictement monotone? 
  • Modifié (December 2023)
    Une fonction $f$ continue et injective sur un segment de $\mathbb R$, à valeurs dans $\mathbb R$, est strictement monotone.
  • Modifié (December 2023)
    sur un segment de R,

    Et même sur un intervalle quelconque de $\R$.

  • Oui, JLapin, j'ai été étourdi une fois de plus.
  • Modifié (December 2023)
    Ça me rappelle l’énoncé suivant. 
    1. • Soient $a \in \mathbb R \setminus \{0\}$,  $b \in \mathbb R$,  Démontrer qu'il existe une fonction continue $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ telle que : $\forall x \in  \mathbb R,\  f\big(f(x)\big)=ax+b$ si et seulement si $a>0$.
    2. • Soient $a \in \mathbb R$, $\ a>0$, $\ a\neq 1$, $\ b \in \mathbb R$. Déterminer les fonctions  $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ de classe $\mathcal C^1$ telles que : $\forall x \in  \mathbb R,\ f\big(f(x)\big)=ax+b$.
    Peut-on étendre la deuxième question à $f$ dérivable, $f$ continue, $\ a=1$ ?
  • Merci pour votre aide. Je n’avais pas pensé à cette caractérisation 
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