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Condition sur F pour que F+G soit un fermé

Modifié (December 2023) dans Analyse
Bonsoir 
Je bloque en cet exercice
Soient F et G deux fermés d'un espace vectoriel normé. Trouver une condition sur F pour
que F + G soit fermé.
j'ai essayé de montrer que F doit être un compact mais je n'arrive pas au resultat

Réponses

  • Tu peux
    a) montrer que si $F$ est compact, alors $F+G$ est fermé
    b) Montrer par un contre-exemple dans $\R^2$ que si $F$ n'est pas compact, on n'a pas nécessairement $F+G$ fermé.
  • Que le complémentaire de F soit l'ensemble vide! ... Me regardez pas comme ça...
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Modifié (December 2023)
    Bonjour
      Comme le souligne Soc, il n'est pas nécessaire que $F$ soit compact pour que $F+G$ soit fermé pour tout $G$ fermé. Mais c'est en effet une condition suffisante.
    Pour le prouver, tu suppose $F$ compact, un point $A$ dans l'adhérence de $F+G$, on est dans un métrique donc il existe une suite $u_n$ d'éléments de $F+G$ qui converge vers $A$ donc deux suites $F_n$ et $G_n$ d'éléments respectivement de $F$ et de $G$ dont la somme converge vers $A$. Comme $F$ est compact (et qu'on est dans un métrique), il existe une suite extraite de $F_n$ qui converge vers un élément $l$ de $F$, je te laisse finir (c'est-à-dire montrer que $(A-l) \in G$ ).
    @Soc : je suis en train d'écouter la musique d'Arizona Dream, c'est de ta faute, mais je ne t'en veux pas.
  • Salut 
    Merci pour vos réponses
    Je vois que la compacité est une condition suffisante mais non nécessaire 
    Toutefois,je n'ai pas reussi a déterminer la condition 
  • Tu as trouvé une condition suffisante intéressante, donc une condition, donc tu as répondu à l’exercice.
  • houssemelhamdi : as-tu également trouvé le contre-exemple proposé par JLapin ? (Question b) )
  • Modifié (December 2023)
    Prends $F=\{(x,y)\in \R^2 \mid xy=1\}$ et $G = \{(x,0)\mid  x\in \R\}$ et vérifie que $F$ et $G$ sont fermés mais pas $F+G$.
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