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Polynôme interpolateur

Modifié (December 2023) dans Analyse
Soit $(x_k)_{0\le k\le n}$ une suite de réels telle que $x_0 < x_1 < \dots < x_n$. Pour tout $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, on pose \[P_k = \frac{1}{y_k}\prod_{\substack{0\le i \le n\\ i \neq k}} (X-x_i) ,\quad \text{où} \quad y_k = \prod_{\substack{0\le i \le n\\ i \neq k}}(x_k-x_i)\]
1) Soit $P \in \C_n[X]$, unitaire. Montrer que $P = \sum_{k=0}^nP(x_k)P_k$.
2) Montrer que $1 = \sum_{k=0}^n \frac{P(x_k)}{y_k}$.
3) Montrer que $\max_{0 \le k \le n}|P(x_k)| \ge \frac{n!}{2^n}$
1) OK
2) OK
3) ??? Si vous avez une indication je suis preneur. Il y a un résultat similaire utilisant les polynômes de Tchebychev. Pour tout polynôme $P$ unitaire de degré $n$, $\sup_{x \in [-1,1]} |P(x)| \ge \frac{1}{2^{n-1}}$.

Réponses

  • Bonjour,
    Est-ce que $X^2+1$ est un polynôme unitaire appartenant à $\C_3[X]$ ?
  • L'inégalité de la question 3 n'a aucune raison d'être vraie sans hypothèse supplémentaire.
  • Oui je pense aussi qu'il y a une erreur dans l'énoncé car a priori le choix des $x_i$ est indépendant du choix du polynôme $P$
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