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Équivalent d’une suite

Modifié (December 2023) dans Analyse
Bonjour 
je dois trouver un équivalent de la suite (un) définie par : Un+1= valeur absolue (Un -n)

J’ai essayé l’inégalité triangulaire : 
Un+1-n/2< | Un -n/2| mais le signe me gêne pour faire une cascade. 
n/2 doit être l’équivalent 
des idées pour m’aider ? 
Merci d’avance 

Réponses

  • Modifié (December 2023)
    Bonsoir
    Sauf erreur de ma part, tu peux montrer que : $\quad u_n\underset{n\to +\infty}{\sim}\displaystyle\frac{n}{2}$.
    Pour ce faire, tu peux démontrer que : $\quad\exists N\in\N,~\forall n\geqslant N,~u_{n+2} = u_n+1$.
    Puis, utiliser le caractère ultimement arithmétique de raison $1$ des suites $\left(u_{2n}\right)_{n\in\N}$ et $\left(u_{2n+1}\right)_{n\in\N}$ pour conclure.
  • Pourquoi « équivalents » au pluriel ?
  • Merci Bbidule. Il faut mettre au carré pour montrer la relation de récurrence ?
    (Un+2)^2= (Un+1)^2 +(n+1)^2 - 2(n+1)* Un+1= (Un)^2+n^2-2n*Un+ n^2+1+2n - 2(n+1)* (n-Un) en supposant n > Un 
    Donc (Un+2)^2= (Un)^2-2n*Un+1+ 2(n+1)* (Un)
    d’ou  (Un+2)^2= (Un)^2+1+ 2Un=(Un +1)^2

    donc Un+2 = Un + 1 au signe près mais en supposant que Un<n 
  • Modifié (December 2023)
    Il n'y a pas d'unicité de l'équivalent. Si $u_n \sim v_n$ et si $w_n = o(u_n)$ alors $u_n \sim v_n+w_n$.

    Par exemple $\sin( \frac 1 n) \sim \frac 1n \sim \frac 1n + \frac1{n^2}$.
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