Exp(x) exposant preuve ?

JLapin

Calcule le produit. Par distributivité, tu obtiendras $$\sum_{(n,p)\in \N^2} \dfrac{a^n b^p}{n! p!} = \sum_{j=0}^{+\infty}\underbrace{ \sum_{n+p=j} \dfrac{a^n b^p}{n! p!}}_{=S_j}.$$

Il te reste à utiliser la formule du binôme de Newton pour simplifier $S_j$.

Lazare

@JLapin

Que signifie $N^2$? 

Edit: Pourquoi il n'y a pas de $+\infty$ au dessus de toute les sommes? 

JLapin

C'est l'ensemble de tous les couples d'entiers naturels.

Lazare

@JLapin

Wow. Je vais étudier cette formule. 

Lazare

En cherchant à résoudre : $\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{(a+b)^n}{n!} = \sum_{n=0} ^{\infty} \frac{a^n}{n!} * \sum_{p=0} ^{\infty} \frac{b^p}{p!},$
je trouve que $\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{(a+b)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0} ^{n}\frac{\begin{pmatrix}
n  \\
k 
\end{pmatrix}a^{n-k}*b^k}{n!}$.
(En utilisant la formule du binôme de Newton.)
Et je trouve que : $\displaystyle \sum_{n=0} ^{\infty} \frac{a^n}{n!} \, \sum_{p=0} ^{\infty} \frac{b^p}{p!}=\sum_{(n, p)\in N^2} \frac{a^nb^p}{n!p!}.$
(Comme Jlapin semble l'indiquer.)
Ensuite je ne sais pas comment m'y prendre. 

@JLapin dit que : $\sum_{(n,p)\in N^2} \frac{a^n*b^p}{n!*p!}=\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{(p+n)=j} \frac{a^n*b^p}{n!*p!}$.
Mais je ne comprends pas le $\sum_{(p+n)=j}$.

JLapin

C'est une somme sur tous les couples $(n,p)\in \N^2$ qui vérifient $n+p=j$.

Si $j=2$, cette somme comportera trois termes associés aux couples $(2,0), (1,1)$ et $(0,2)$. Ecris chacun de ces termes et tu reconnaîtras une identité remarquable.

Syntax_Error

Pour rester  dans des développements relativement élémentaires, tu peux envisager de démontrer que:

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(1+\frac{a}{n})^n \,=\,\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{a^k}{k!}\,$. Pour cela la formule du binôme est utile (et suffisante, en dehors de savoir ce qu'est une lilmite).

Ensuite, tu montres en passant au $\ln$ que le terme de gauche, tu calcules sa limite et tu en prends l'exponentielle.

Connaissances requises : formule du binôme, propriétés des limites notamment en lien avec la continuité,  définitions et propriétés élémentaires des fonctions $\ln$ et $\exp$.

philou22

https://chat.openai.com/share/f032fbd6-63ad-4df9-b0ef-16b5d2c09375

Lazare

@JLapin
Je comprends le pourquoi du $(n+p)=j$
Par contre je vois pas en quoi $S_{j}$ est compatible avec la formule de Newton. 

Lazare

@Syntax_Error
Ça me parait un peut tortueux comme chemin logique de définir une fonction en utilisant sa réciproque. 

Lazare

@philou22
Désolé l'IA ça me fait flipper. J'ai peut-être trop regardé les films Terminator et Matrix.. En tout cas je boycotte chat gpt. 

philou22

@Lazare Ne t’inquiète pas c’est juste un alliage de statistiques et d’informatique. S’en priver est dommage, utilises-tu Google ? Des livres ? Concernant la preuve que tu recherches, il suffit d’écrire les sommes partielles de la série qui définit l’exponentielle, pour exp(x+y) et pour le produit exp(x) exp(y) regrouper les termes de même puissance, connaître un peu les coefficients binomiaux. Même ChatGPT qui est peu performant en mathématiques y arrive en lui disant comment faire.

Lazare

@philou22
Je ne sais pas ce qu'est une somme partielle. 

J'utilise google et des livres. 
C'est juste un alliage de statistique et d'informatique hyper puissant dont les limites sont difficile à définir. 

Syntax_Error

@Lazare: L'utilité du passage par le $\ln$ c'est de démontrer sans peine (le théorème des accroissements finis suffit) que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(1+\frac{a}{n})^n = \exp(a)$. Je ne vois pas ce qu'il y a de très tortueux, à partir du moment où  l'on connait la fonction  exponentielle, et donc ses propriétés élémentaires.  Si l'on ne connait pas l'exponentielle par contre, l'exercice revient à chercher à prouver qu'une certaine limite est égale à $tartempion(x)$, avec $tartempion\,$ non définie, ce qui est de fait très difficile à prouver.