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Exp(x) exposant preuve ?

Modifié (December 2023) dans Algèbre
Bonjour mes amis.
Je cherche à démontrer que la fonction $\displaystyle \quad\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{a^n}{n!}\quad$ est une fonction exposant. 

Si j'arrivais à démontrer que seules les fonctions exposant ont cette propriété : $f(a)f(b)=f(a+b)$ et que $\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{a^n}{n!}$ possède aussi cette propriété je verrais comment m'y prendre. Mais je n'arrive à prouver ni l'un ni l'autre.

PS. j'ai un niveau lycée. 

Edit : je formule ma demande d'une autre manière pour ceux que ça peux aider.
Je cherche à prouver que $\quad\displaystyle \sum_{n=0} ^{\infty} \frac{a^n}{n!} = e^x$.

Edit:
Je précise que la définition de la "fonction exposant" à laquelle je fait réference est celle ci: 
$b^x=1\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b\dots $ Avec $x$ fois la répétition de $b$.
Par exemple : 
$b^5=1\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b$.
«1

Réponses

  • Ta demande est circulaire, qu'est-ce que tu appelles fonction exposant ?
  • Modifié (December 2023)
    @Poirot
    Ce que j'appelle fonction exposant c'est toute fonction de forme $b^x$ avec $b$ pour base. 
  • Modifié (December 2023)
    @Lazare
    En restant à un niveau lycée, ce que tu demandes est un peu un travail de romain...
    Il faudrait établir la bonne définition de la somme infinie qui définit $f(a)$ pour commencer, puis la relation $f(a+b)=f(a)f(b)$ pour tout $a$ et $b$, puis la continuité de $f$ et enfin le fait que l'équation $\forall (a,b)\in \R^2,\ y(a+b)=y(a)y(b)$, avec condition initiale $y(0)=1$ possède une unique solution continue.
    Ce n'est pas infaisable mais...
  • Et comment définis-tu ces fonctions ? Concrètement, que veut dire $b^{\pi}$ pour toi ?
  • Modifié (December 2023)
    @Poirot
    Pour l'instant je n'explique pas comment calculer les fonctions exposant pour $x$ non entier. Je ne sais pas dire si c'est faisable. Mais j'aimerais le trouver et le démontrer. 
  • Modifié (December 2023)
    @JLapin
    Tu maltraites mon pauvre cerveau là... :#
  • C'est toi qui a commencé ;)
  • Modifié (December 2023)
    J'ai formulé ma question d'une autre manière en edit sur le premier message.
    C'est mieux ? 
  • Modifié (December 2023)
    Partons du principe que la fonction exponentielle est définie comme l'unique fonction $\mathbb R \to \mathbb R$ dérivable et qui vaut 1 en 0.
    Je te propose d'alors dans un premier temps de démontrer la formule de Taylor avec reste intégral qui énonce que si une fonction $f : I \to \mathbb R$ (où $I$ est un intervalle non vide et non réduit à un point) est une fonction de classe $\mathscr C^{p+1}$ alors $$\forall x \in I,\quad f(x) = \sum_{n=0}^p \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n + \int_a^x \frac{f^{(p+1)}(t)}{p!} \, (x-t)^p \, \mathrm d t,$$ avec $a \in I$ par récurrence sur $p$.
    En considérant ensuite $f = \exp$ et $a = 0$, de montrer que, pour tout $x \in \mathbb R$, 
    $$ 0 \leq  \Big| \exp(x) - \sum_{n=0}^p \frac{x^n}{n!} \Big| \leq \frac{|x|^{p+1}}{(p+1)!}\,\exp(|x|),$$
    puis de conclure que $$\sum_{n=0}^p \frac{x^n}{n!}  \underset{p \to +\infty}{\longrightarrow} \exp(x).$$
  • Modifié (December 2023)
    Le problème c'est que tu veux démontrer $a=b$ en ne connaissant rien de $a$ ni de $b$. Ce n'est pas ta faute que tu ne saches rien sur ces choses-là, c'est "normal", il n'est pas prévu qu'on t'enseigne ça au lycée.

    Voici un exercice qui est peut-être plus facile pour toi, pour commencer.
    Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}^*$ une fonction dérivable telle que $f(0) = 1$ et il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f' = cf$. Démontre que pour tout $a,b \in \mathbb{R}$, $f(a+b) = f(a)f(b)$. Indication : soit $a \in \mathbb{R}$. Posons, pour tout $x$, $g(x) := \frac{f(a+x)}{f(x)}$. Démontre que $g$ est dérivable, calcule sa dérivée...
    En voici un autre. Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}^*$ une fonction dérivable telle que pour tout $a,b \in \mathbb{R}$, $f(a+b) = f(a)f(b)$. Démontre que $f(0) = 1$. Note $c := f'(0)$. Démontre que $f' = cf$.
    Si tu n'arrives pas à résoudre ces deux exercices, demande-nous de l'aide : je ne dis pas que je m'attends à ce que tu arrives à les résoudre... Je ne connais pas bien les programmes du lycée. Mais je pense que ces deux exercices sont parmi les plus faciles pour t'aider à progresser vers le but que tu annonces.
  • Modifié (December 2023)
    @Héhéhé
    Comment je peux savoir si les fonctions exposant sont dérivables ? 
    Sachant que pour l'instant à mon stade je n'arrive qu'à les calculer pour des entiers. 
    Si je définis plus clairement ce que sont les fonctions exposant à mon stade c'est ça : 
    $b^x=1\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b\dots $ Avec $x$ fois la répétition de $b$.
    Par exemple : 
    $b^5=1\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b$.
  • Modifié (December 2023)
    $x^y$ est par définition $\exp(y\ln x)$.
  • Modifié (December 2023)
    Mettons que j'accepte cette propriété des fonctions exposant qui decoule de ma précédente définition: $f(a)\times f(b)=f(a+b)$
    Je peux en déduire ce raisonnement : 
    $b=b^1=b^\frac{1}{2}*b^\frac{1}{2}$
    $b^\frac{1}{2}=\sqrt{b}$

    Ce raisonnement fonctionne pour toute les racines $n$-ieme ($n$ entier).
    Et donc j'accepte l'existence d'un résultat en racines pour toutes les puissances de fractions entières (mise à l'exposant). 
    Mais cela est-il suffisant pour dire que les fonctions exposant sont dérivables ? 
  • Modifié (December 2023)
    @Georges Abitbol
    Commençons par le début.
    Qu'est ce que $\R^*$ ? ;)
  • Modifié (December 2023)
    @Héhéhé
    "Par definition".. Tu veux dire que c'est un axiome qui n'a pas besoin d'être démontré ? 
  • $\mathbb{R}^*$ est l'ensemble des réels non nuls.
  • Modifié (December 2023)
    @Georges Abitbol
    Pour le second exercice : 
    $f(a)=f(a+0)=f(a)*f(0)$
    Donc : 
    $f(a)=f(a)*f(0)$
    $\frac{f(a)}{f(a)}=f(0)$
    $1=f(0)$

    Pour le reste j'ai besoin de démonstration de pourquoi les fonctions exposant sont continues  sur $\R$ et donc dérivables sur $\R$. Sinon je considère la définition comme incomplète. Enfin cela ne me satisfait pas si c'est un axiome.
  • Tu as fait la moitié du deuxième exercice. Je ne sais pas à qui tu réponds lors de la fin de ton message. Si c'est à moi, je n'ai pas compris !
  • Modifié (December 2023)
    sont continue  sur R et donc dérivables sur R.

    Oh mon dieu ! Attention !

  • Modifié (December 2023)
    @Georges Abitbol
    Oui c'est à toi que je réponds. Pourquoi dans tes exercices tes fonction sont dérivables par définition. Leur dérivabilité ne peux pas être déduite ? 
  • Modifié (December 2023)
    @Georges Abitbol
    Euh oui, pardon. La continuité ne veux pas forcément dire la dérivabilité. 
  • Modifié (December 2023)
    @Lazare : Les fonctions dans mes exercices sont dérivables par définition parce que c'est moi qui l'ai décidé. Je te donne les exercices que je veux. Bien entendu, je te donne un exercice en rapport avec tes questions. Cependant, il est visiblement hors de question pour toi de démontrer que les fonctions $x \mapsto b^x$ sont dérivables, parce que tu ne sais quasiment rien de ces fonctions.
    Si je te demande de démontrer que Franck est roux, et que la seule chose que tu connais de Franck, c'est qu'il fait 1m75, qu'est-ce que tu peux faire ? Dans tes interventions précédentes, on a l'impression que tu nous demandes : ah mais je sais aussi que Franck joue au ping-pong, est-ce que c'est suffisant pour en déduire qu'il est roux ?
  • Modifié (December 2023)
    Bonjour
     En demandant pourquoi une fonction de type "exposant" est forcément continue, tu vas trop vite.
      Si il n'y a qu'une seule fonction $f$ de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}^*_+$ qui vérifie $\forall (x,y)\in \mathbb{Q}^2,\ f(x)*f(y) = f(x+y)$ et $f(1) = a$ avec $a$ un réel positif que tu as posé, il existe en réalité plein de fonctions dont le domaine est $\mathbb{R}$ et qui vérifient les autres conditions (on ne peut que difficilement en exprimer une, mais on peut prouver qu'elles existent).
     Cependant, il existe une fonction (et une seule) de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui coïncide avec $f$ sur $\mathbb{Q}$ et qui soit continue, et il se trouve que, justement (ça se prouve), elle fait partie des fonctions précédentes, c'est cette fonction qu'on appelle une fonction exponentielle.
      Si tu veux montrer tout ça proprement, ça va probablement te demander d'intégrer au préalable beaucoup de choses sur l'analyse, y compris une axiomatisation ou construction de $\mathbb{R}$ à partir de $\mathbb{Q}$. C'est sympa, mais d'un coup, ça doit être un peu dur.
       Sinon, tu as la méthode "historique", qui est aussi la plus adaptée aux connaissances d'un lycéen (attention voir remarque en bas):
      Tu commences par le logarithme népérien : c'est-à-dire prouver que la primitive de la fonction inverse qui vaut 0 en 1 est strictement croissante sur $\mathbb{R}^*_+$ et qu'elle vérifie $\forall (x,y),\ \ln(x*y) = ln(x) + ln (y)$. Celle-là tu n'as pas de mal à prouver qu'elle est continue et dérivable, vu qu'elle est strictement croissante, elle est injective et admet une réciproque de son image vers son domaine qui est aussi dérivable (on appelle ça un difféomorphisme), sa fonction réciproque s'appelle l'exponentielle (ce n'est pas juste une exponentielle, c'est LA exponentielle) et blablabla, tu prouves en dérivant la composition de $\exp$ et $\ln$ que la dérivée de $\exp$ est $\exp$ puis tu construis les fonctions exponentielle à partir de là.
      Et là, ça te fais un raisonnement qui tient à peu près la route et qui est vachement bien pour un lycéen.
     Enfin: prouver que $\exp$ définie par la série entière vérifie bien $\exp(x+y) = \exp(x) \exp(y)$ est un exercice rigolo au lycée, par contre ne vas pas tout de suite essayer de prouver que cette série converge et qu'elle est continue et dérivable (ni même pourquoi tu es autorisé à changer les termes de places comme ça, alors qu'ils n'ont rien demandé), parce que ça, bien que ça ne soit pas ultra-compliqué, ça va te demander un niveau de rigueur auquel tu n'es pas encore préparé.
    Remarque : quand j'étais en terminale, on a appris l'exponentielle avant le logarithme, c'était une connerie que je ne peux expliquer que par le fait qu'on a besoin d'apprendre l'exponentiel et les équations différentielles très vite si on ne veut pas s'emmerder en physique. Je ne sais pas ce qu'il en est aujourd'hui, c'est peut-être pire (il y a deux semaines, ma nièce, en seconde, m'a demandé de l'aider à un exercice d'optimisation qui arrivait un an avant la notion de dérivée, je n'ai rien capté à la pédagogie sous-jacente et je suis un poil inquiet).
  • Modifié (December 2023)
    Dans le message ci-dessous, on propose une construction de $\exp$ qui se base sur les prérequis suivants:
    P0) Sommes définies avec $\Sigma$ (la question de l'initiateur du fil me fait supposer qu'il peut les manier)
    P1) dérivées; dérivée d'un quotient de fonctions
    P2) toute fonction de $[0,+\infty[$ dans $\R$ qui a une dérivée nulle sur $]0,+\infty[$ est constante
    P3) pour toute fonction numérique $f$ et tous $a,y\in \R$, la dérivée de $x \mapsto f(x+y)$ en $a$ est $f'(a+y)$ (si tant est que cette dernière quantité existe).
    P4) suites adjacentes.

    Pour tout $x\in \R$ et tout $n\in \N$, on pose $P_n(x):=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$ et $Q_n(x):= \frac{x^n}{n!} + P_n(x)$.

    0°) Pour tout $x\in \R$ et tous entiers $n,p$ tels que $n\geq |2x|$, on a $$\left | \frac{x^{n+p}} {(n+p)!} \right | \leq \left | \frac{x^p}{n^p} \right | \left | \frac{x^n}{n!}\right | \leq \frac{1}{2^p} \left | \frac{x^n}{n!}\right | \tag{o}$$ Cela entraîne pour tout entier $n\geq |2x|$ que $\lim \limits_{p \to +\infty} \frac{x^{n+p}} {(n+p)!} = 0$ puis que $\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{x^n} {n!} = 0$

    1°) Soit $x\in [0,+\infty[$ et $n\geq x$ un entier. Alors $P_{n+1}(x)-P_n(x) = \frac{x^n}{n!} \geq 0$, mais surtout, $Q_{n+1}(x) - Q_n(x)= \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{x^n}{n!} = \frac{x^n}{n!}  \left (  \frac{x}{n+1} - 1\right ) < 0$. Comme $\frac{x^n}{n!} = Q_n(x) - P_n(x)$ tend vers $0$ quand $n\to +\infty$, on en déduit que $\left ( P_n(x)\right )_{n \in \N}$ et $\left ( Q_n(x)\right )_{n \in \N}$ sont deux suites adjacentes (le comportement adjacent démarre quand $n\geq x$ mais cela entraîne les propriétés voulues des suites adjacentes: on pourrait tronquer les suites).
    Bref ces deux suites possèdent une limite commune lorsque $n\to +\infty$. On notera "$\exp (x)$" cette limite commune. On a $$P_n(x) \leq \exp(x) \leq Q_n(x) \tag{i}$$ pour tout $x\in [0,+\infty[$ et tout entier $n\geq x$.

    Le passage à la limite réalisé justifie aussi l'écriture "$\exp(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}$".

    2°) Soient $a,b$ deux réels positifs tels que $a< b$. Soit $p>0$ un entier. Alors $pa^{p-1} \leq \sum_{i=0}^{p-1} a^i b^{p-1-i} \leq pb^{p-1}$ (on somme les $p$ inégalités $a^{p-1} \leq a^ib^{p-1-i} \leq b^{p-1}$ avec $i$ entier variant de $0$ à $p-1$). Autrement dit, (les identités remarquables/ sommes géométriques, vite!!) $$pa^{p-1} \leq \frac{b^p - a^p}{b-a} \leq pb^{p-1} \tag{ii}$$.


    3°) Soit $n\in \N$ non nul; en remarquant que $a^0=b^0=0! = 1$ et donc que $ \frac1 {0!} (b^0 - a^0) = 0$, et en sommant les inégalités du 2°), on obtient $$\sum_{p=1}^n \frac{pa^{p-1}}{p!} \leq \frac{1}{b-a}\left ( \frac1 {0!} (b^0 - a^0) + \sum_{p=1}^n \frac{b^p - a^p}{p!} \right ) \leq \sum_{p=1}^n p\frac{b^{p-1}}{p!}\tag{iii}$$ autrement dit, en remplaçant les indices $p$ par $q+1$ dans les membres de gauche et de droite de (iii), on obtient:
    $$P_{n-1}(a) = \sum_{q=0}^{n-1} \frac{a^q}{q!} \leq \frac{P_n(b) - P_n(a)}{b-a} \leq \sum_{q=0}^{n-1} \frac{b^q}{q!} = P_{n-1} (b) \tag{iv}$$

    4°) De ces inégalités (toujours avec $0\leq a < b$) on obtient également, pour tout entier $n\geq b$, les inégalités $$P_{n-1}(a) - \frac{a^n}{(b-a)n!}  \leq \frac{P_n(b) - Q_n(a)}{b-a} \leq \frac{\exp(b) - \exp(a)}{b-a} \leq \frac{Q_n(b) - P_n(a)}{b-a} \leq \frac{b^n}{(b-a)n!} + P_{n-1}(b) \tag{v}$$

    5°) En faisant tendre $n$ vers l'infini dans (v) on obtient $$\exp (a) \leq \frac{\exp(b) - \exp(a)}{b-a} \leq \exp(b) \tag{vi}$$.
    Cela entraîne (faire entre $b$ vers $a$, et $a$ vers $b$) que pour tout $x>1$, le nombre dérivé de $\exp$ en $x$ existe et vaut $\exp(x)$ lui-même.
    (EDIT: voir l'objection de @JLapin plus bas ainsi que le message suivant pour établir la continuité de $\exp$ d'abord:
    https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2455655/#Comment_2455655)

    6°) Pour tout $n$, $P_n(0)=1$ et donc $\exp(0) = 1$ (passage à la limite).

    7°) Pour tout $u\in [0,+\infty[$ et tout $n\in \N$,  par définition, $1 \leq P_n(u)$ et donc $1\leq \exp(u)$  Soit $y\geq 0$. Soit $f:= x \mapsto \frac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$. Alors pour tout $x>0$, $f'(x) = \frac{\exp(x+y) \exp(x)\exp(y) - \exp(x+y)\exp(x)\exp(y)}{\left (\exp(x)\exp(y) \right)^2} = 0$. Ainsi, $f$ est une fonction constante. On a donc pour tout $x$, $1 = \frac{\exp (y)}{\exp(y)}=\frac{\exp(0+y)}{\exp(0) \exp(y)} = f(x) = \frac{\exp(x+y)}{\exp(x)\exp(y)}$ d'où finalement la relation suivante, valable pour tous $x,y\in [0,+\infty[$: $$\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y) \tag{vii}$$

    8°) Soit $t$ un nombre réel. Soient $a,b,c,d$ des nombres réels positifs tels que $a-b = c-d = t$. Alors $a+d = b+c$ et donc $\exp(a)\exp(d) = \exp(a+d) = \exp(b+c) = \exp(b)\exp(c)$. Par suite on a également $\frac{\exp(a)}{\exp(b)} = \frac{\exp(c)}{\exp(d)}$ (*). Tout nombre réel $t$ est la différence de deux nombres positifs $p,q$ (par exemple $t = t-0$ si $t\geq 0$ et $t = 0 - (-t)$ si $t<0$). Désignons alors par $E(t):= \frac{\exp(p)}{\exp(q)}$; le raisonnement précédent montre que $E(t)$ ne dépend pas des $p,q$ tels que $p-q = t$. En outre pour tous réels $r,s$ et tous réels positifs $v,w,x,y$ tels que $r = v-w$ et $s = x-y$, on a $r+s = (v+x) - (w+y)$ et donc que $$E(r+s) = \frac{\exp(v+x)}{\exp(w+y)} = \frac{\exp(v)\exp(x)}{\exp(w)\exp(y)} = E(r)E(s) \tag{viii} $$

    9°) Pour tout $t\geq 0$ on a $t = t-0$ et donc $E(t) = \frac{\exp(t)}{\exp(0)} = \exp(t)$. En d'autres termes, $E$ est un prolongement de $\exp$ à tous les nombre réels. On note alors simplement $\exp(x)$ au lieu de $E(x)$ pour tout réel $x$ et (viii) se réécrit en $$\forall x\in \R, \forall y\in \R, \exp(x+y) = \exp(x)\exp(y) \tag{ix}$$

    10°) On a encore $\exp(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$ pour tous les nombres réels $x$, même négatifs, mais c'est un peu plu délicat à démontrer (reprendre les définition de $P_n,Q_n$ etc). Le fait que $\exp'(x) = \exp(x)$ pour tout $x\in \R$ peut se traiter avec (ix) et le cas où $x>0$.

    (*) en d'autre termes $\left \{ \left (t, \frac{\exp(u)}{\exp(v)} \right ) \mid t,u,v\in \R \wedge t = u - v\right \}$ est une fonction B)

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Question bête mais pour $(vi)$, il te faut la continuité de $\exp$, non ?
    Je pense voir comment faire mais vu que tout le reste est détaillé...
  • @JLapin non c'est juste un passage à la limite avec les bornes tout à gauche et tout à droite dans (v).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Mais quand tu fais tendre $b$ vers $a$, pour justifier que le taux d'accroissement tend vers $e^a$, tu as besoin que le membre de droite $e^b$ converge vers $e^a$, non ?
  • Modifié (December 2023)
    @JLapin Ah oui en effet. Mais il y a une astuce. $(vi)$ entraîne pour tous $x,y$ tels que $0 \leq x \leq y$ l'inégalité $(y - x) \exp (x) \leq \exp(y) - \exp (x) \leq (y-x) \exp (y) (\dagger)$. De plus $\exp$ est croissante (par passage à la limite et croissance de $P_n$ pour tout $n$, ou même examen des signes dans $(\dagger)$ puisqu'on sait que $\exp (x) \geq 1$ pour tout $x$).
    Soit alors $M>0$. Pour tous $x, y \in [0,M]$ on a $|\exp(x) - \exp (y)| \leq \exp(M) |x-y|$ (distinguer les cas $x\leq y $ et $y \leq x$ qui sont essentiellement les mêmes par symétrie). La continuité de $\exp$ en découle.
    Vu qu'il s'agit d'un simple encadrement ou pourrait même éviter de mentionner la notion de continuité et le plonger dans la rédaction précédente (quitte à alourdir le texte).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Modifié (December 2023)
    Oui, c'est effectivement ce que j'avais en tête. C'est amusant je trouve de voir que si $f:\R\to \R_+$, l'encadrement
    $$\forall (a,b)\in \R^2,\quad a<b\implies f(a)\leq \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq f(b)$$ implique (sauf erreur de ma part) la croissance puis la continuité puis la dérivabilité de $f$ puis le fait que $f'=f$.
  • Modifié (December 2023)
    @Georges Abitbol
    Excuse moi. J'avais mal interprété le but de tes exercices.
    Voici la seconde partie du second exercice :
    $\lim_{h\to0}\frac{f(a+b+h)-f(a+b)}{h}$
    $\lim_{h\to0}\frac{f(a+b)*f(h)-f(a+b)}{h}$
    $\lim_{h\to0}f(a+b)*\frac{f(h)-1}{h}$
    $\lim_{h\to0}c=\frac{f(h)-1}{h}$
    Donc $f'=c*f$
  • Modifié (December 2023)
    @Georges Abitbol
    Pour le premier exercice, je patauge
    Je pose ceci : 
    $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=c*f(a)$.
    Je trouve que :
    $\lim_{h\to0}c=\frac{f(a+h)-f(a)}{h*f(a)}$.
    Je remets le $c$ trouvé dans l'équation :
    $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(f(a+h)-f(a))*f(a)}{h*f(a)}$.
    À partir d'ici j'ai beau retourner l'équation dans tout les sens, je ne trouve rien. 
  • J'ai rajouté ma définition de la fonction exposant en édit dans le premier message. 
  • Modifié (December 2023)
    Bonsoir.
    "J'ai rajouté ma définition" :  que veut dire "x fois" quand x n'est pas un entier au moins égal à 2 ? -3 fois ?? $\pi$ fois ???
    Même en fin de collège, on définit mieux que ça les puissances entières; c'est d'ailleurs l'objet d'une étude spécifique.
    Cordialement.
  • Modifié (December 2023)
    @gerard0
    Bonne question. C'est un peu mon but ici de trouver la réponse. 
    Ta définition du collège m'intéresse ainsi que l'étude spécifique dont tu parles.
    Moi je trouve que ma définition ne diffère pas trop de celle d'Yvan Monka ici :
  • Modifié (December 2023)
    @Titi le curieux
    Le langage que tu utilises est bien trop technique pour moi.
    Est-ce que les fonctions exposant sont les seules a avoir la propriété $f(a+b)=f(a)\times f(b)$ sans sortir du cadre de l'algèbre ? 
  • Modifié (December 2023)
    @Foys
    Le niveau est trop élevé pour moi.
    Si tu arrives à trouver une démonstration à partir d'une définition des fonctions puissance du collège.
  • Modifié (December 2023)
    Si tu arrives à trouver une démonstration à partir d'une définition des fonctions puissance du collège.
    Les notions que tu souhaites définir reposent sur des concepts d'analyse évolués.
    Actuellement, elles sont présentées de la façon suivante :
    On admet l'existence d'une fonction $\exp:\R\to \R_+^*$ dérivable qui vérifie $\exp' = \exp$ et $\exp(0)=1$.
    On démontre que cette fonction permet de définir une bijection continue strictement croissante de $\R$ sur $]0,+\infty[$.
    On note $\ln:]0,+\infty[\to \R$ sa bijection réciproque.
    On pose pour tout $a\in \R$ et pour tout $x>0$, $x^a=\exp(a\ln x)$ et on vérifie que si $a$ est un entier naturel, alors $x^a$ coïncide avec la définition du collège.
    On peut trouver d'autres façons de présenter les choses mais il y aura forcément des choses de niveau trop élevé pour toi, comme tu dis.
  • Modifié (December 2023)
    @JLapin
    Je ne comprends rien :s
  • Tu as le niveau fin de lycée ou tu es au lycée ? Dans le 2ème cas ça expliquerait que tu ne comprennes rien à ce fil. Tu peux laisser de côté les problèmes d'analyse (convergence de série, continuité, dérivabilité) dans un premier temps et vérifier que l'expression $f(x):=\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}$ satisfait bien, au moins formellement, $f(x+y) = f(x)\times f(y)$.
    Après je bloque.
  • Modifié (December 2023)
    Lazare,
    il faut être sérieux ! Les outils de collège permettent de définir les puissances d'exposants entiers. Déjà, pour les puissances d'exposants rationnels (fractions d'entiers), il faut des outils de fin de lycée, et une présentation rapide de la fonction exponentielle peut justifier la définition des puissances quelconques de nombres strictement positifs.
    Tu demandes une présentation miracle qui t'éviterait d'avoir à apprendre ce que tu ne connais pas encore. Il n'y en a pas.
  • @i.zitoussi

    J'arrive a comprendre que la dérivée de $\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{a^n}{n! }$ vaut 1 fois elle meme. 

    Ensuite j'arrive a expliquer qu'une fonction qui verifie la propriété $f(a+b)=f(a)*f(b)$ a pour dérivée  $f'=cf$
    Par contre je n'arrive pas a prouver l'inverse. 

  • Lazare a dit : 
    Je cherche à démontrer que la fonction $\displaystyle \quad\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{a^n}{n!}\quad$ est une fonction exposant.

    Une façon plus ou moins élémentaire de procéder, mais assez longue si on veut tout écrire comme il faut, est celle-ci :  

    1) Définir $a^q$ lorsque $a>0$ et $q\in \Q$. Ce n'est pas très compliqué mais un peu technique.

    2) Montrer que la fonction $\Q\to \R, q\mapsto a^q$ peut se prolonger à $\R$ entier. Plus précisément, montrer que si $x\in \R$ et $(q_n)$ est une suite de rationnels qui converge vers $x$ alors la suite $(a^{q_n})$ converge vers une limite qui ne dépend pas de la suite $(q_n)$. Cette limite sera par définition notée $a^x$.

    3) Montrer que la fonctions $\R\to \R, x\mapsto a^x$ est continue et que c'est l'unique fonction qui prolonge à $\R$ la fonction exposant de la question 2).

    4) Montrer que si $f:\R\to \R$ est continue et vérifie $\forall a,b\in \R, f(a+b)=f(a)f(b)$ alors pour tout $x\in \R$, $f(x)=f(1)^x$.

    5) Montrer que la fonction $\displaystyle \exp:\R\to \R, x\mapsto \sum_{n=0} ^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ est bien définie et vérifie la condition de 4) et en déduire que pour tout $x\in \R$, $\exp(x)=e^x$ où $e$ est par définition $\exp(1)$.

  • Modifié (December 2023)
    @gerard0
    Je suis prêt à mettre du temps pour apprendre les notions qui me manquent. Mais il faut que les explications soient progressives et didactique un minimum sinon mon cerveau met le frein à main. 
  • Modifié (December 2023)
    @raoul.S
    J'arrive à comprendre ton plan.
    Pour 1) est-ce que les n-racines d'entiers (n entier) sont toutes calculable manuellement ? 
  • Modifié (December 2023)
    Manuellement ? J'avoue ne pas comprendre ce que tu veux dire. Mais pour définir la racine $n$ ième lorsque $n$ est entier $>0$ tu peux utiliser le fait que la fonction $\R^{+}\to \R^{+}, x\mapsto x^n$ est bijective et par conséquent pour tout $y\in \R^{+}$, il existe un unique $x\in \R^{+}$ tel que $x^n=y$. Par définition cet unique $x$ sera noté $y^{1/n}$.

    Pour finir le 1) il reste à montrer que pour tout entiers $n,m$ avec $m\neq 0$, $\left(y^{\frac{1}{m}} \right)^n$ est égal à $\left(y^{n} \right)^{\frac{1}{m}}$. Cette valeur sera notée par définition $y^{\frac{n}{m}}$ (voir post-scrictum)). Là on a la définition de $y^q$ pour $q$ rationnel positif. Dans le cas négatif on pose par définition, $y^{-q}:=\dfrac{1}{y^q}$.

    Finir tous les points jusqu'au 5 est faisable (je m'étais posé la même question que toi il y a très longtemps) mais j'avoue ne l'avoir jamais fait :mrgreen:

    PS : en fait cette définition dépend à priori de $n$ et $m$ et non du rapport $n/m$. Pour montrer qu'elle ne dépend que du rapport $n/m$ il faudrait encore montrer que si $n/m=n'/m'$ (c'est-à-dire si $nm'=n'm$) alors $\left(y^{\frac{1}{m}} \right)^n=\left(y^{\frac{1}{m'}} \right)^{n'}$ 
  • Je suis prèt a mettre du temps pour apprendre les notions qui me manquent. Mais il faut que les explications soient progressives et didactique
    Tu es manifestement en classe de seconde (premiere ?). Attends d’avoir des cours à bac+2  : d’ici là ce sera progressif et didactique, comme tu le souhaites.
  • Modifié (December 2023)
    @raoul.S

    Pour le 1) je pense avoir compris le truc(meme si c'est pas ta méthode que j'ai du mal a comprendre): 

    -Je vois comment démontrer que $a^{\frac{1}{n}}$ vaut $\sqrt[n]{a}$ (avec $n$ entier)
    -Je vois comment démontrer que $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
    -Je vois comment prouver que $(a^b)^c=a^{b*c}$

    De la je sais montrer que $a^{\frac{b}{c}}=(\sqrt[c]{a})^b$ et que $a^{-\frac{b}{c}}=(\frac{1}{(\sqrt[c]{a}})^b$

    Bon voila ca donne des solutions qui couvrent tout les rationnels. 

    Ensuite pour le 2) je crois que je peux passer parce qu'un irrationel c'est juste une suite de rationnels additionés. 

    Maintenant pour le 3) bah pas d'idées. 
  • Modifié (December 2023)
    @JLapin

    J'eu le bac S il y a des années puis j'ai arrété les études. J'étais un mauvais élève et j'ai pas mal oublié ce que j'avais appris et qui ne m'intéressait pas à l'époque. 

    Maintenant je cherche à comprendre certains aspects des maths par curiosité, pour passer le temps. Une curiosité très sélective et ponctuelle qui ne justifie pas que je me tape des années d'études pour comprendre un truc que je peux comprendre en quelques jours avec acharnement. 
  • Tu sous-estimes le 2). Il n'est pas trivial de montrer que si $(q_n)$ et $(q'_n)$ sont deux suites quelconques de rationnels qui convergent toutes les deux vers un réel $x$ alors $(a^{q_n})$ et  $(a^{q'_n})$ convergent et ont la même limite.

    Mais c'est trop long et pénible. Je pense que le 4) et le 5) sont mieux pour toi. Le 4) répond en grande partie à ta question (en supposant que les fonctions puissances ont été définies, donc en sautant 1,2 et 3).
  • Modifié (December 2023)
    4) Ok
    5) C'est là ou je sèche. Je ne trouve pas comment $\quad\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{a^n}{n!}\quad$ vérifie la propriété de 4)
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