Raisonnement par l'absurde et contraposée

Lao
Lao
Modifié (December 2023) dans Fondements et Logique
Bonjour
Lorsqu'on utilise le raisonnement par l'absurde pour démontrer une hypothèse, d'une proposition à l'autre, l'implication est normalement suffisante. Si par exemple "non P" est l'hypothèse que l'on veut démontrer, on va d'abord supposer P vraie, et établir ensuite ses implications, comme P => Q typiquement, et enfin parvenir à une contradiction sur Q, pour en déduire le caractère absurde / faux de P, notre hypothèse initiale, soit "non Q => non P".
Oui mais : la contraposée c'est bien exactement la même chose, non ? ("P => Q" <=> "non Q => non P")
D'où ma question : le raisonnement par l'absurde repose-t-il sur la contraposée ? (dans son étape finale du moins)
Merci de vos réponses.

Réponses

  • lourrran
    Modifié (December 2023)
    Mon opinion personnelle (je ne suis pas prof, je ne fais plus de maths depuis très longtemps) : on a galvaudé le terme 'raisonnement par l'absurde'. 
    Quand je lis 'on va faire une démonstration par l'absurde', 99 fois sur 100, j'estime qu'on devrait écrire : on va démontrer la contraposée.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • GaBuZoMeu
    Modifié (December 2023)
    Bonjour,
    Déjà, il faut bien s'entendre sur ce que veut dire "raisonnement par l'absurde".  Techniquement, l'exemple que tu donnes n'est pas un raisonnement par l'absurde. Ce point a déjà été disuté plusieurs fois de manière interminable sur le forum. $\neg P$, c'est $P\to \bot$ et le raisonnement qui consiste à déduire $\bot$ de $P$ pour montrer $\neg P$ n'est pas plus un raisonnement par l'absurde que déduire $B$ de $A$ pour montrer $A\to B$. Le raisonnement par l'absurde, c'est déduire $\bot$ de $\neg P$ pour montrer $P$.
    De même, déduire $\neg Q\to \neg P$ de $P\to Q$ ne relève pas du raisonnement par l'absurde. Ce qui en relève, c'est déduire $P\to Q$ de $\neg Q\to \neg P$.
    Ces distinctions sont écrasées par l'identification de $\neg\neg P$ avec $P$.
  • Lao
    Lao
    Modifié (December 2023)
    @GaBuZoMeu : pardonne moi je ne suis pas familier avec le symbole perpendiculaire en logique. Que signifie-t-il dans ce contexte ? Merci. Edit : merci pour l'explication de ces subtilités, mais quelle est ta conclusion quant au fond de ma question ?
  • En logique, $\perp$ signifie le faux.
  • Conclusion : le "vrai" raisonnement par l'absurde" (pour tout $P$, si $\neg\neg P$ alors $P$) est équivalent à la "vraie" contraposition (pour tous $P,Q$, si $\neg Q\to \neg P$ alors $P\to Q$).
  • Lao
    Lao
    Modifié (December 2023)
    Compris. Merci ! Edit : j'ai compris mon "erreur" : j'utilisais une implication dans l'hypothèse -absurde- que je cherchais à nier, alors qu'en fait elle n'a pas lieu d'être, d'où la confusion avec la contraposée. Merci encore GaBuZoMeu pour tes éclaircissements très précis et très utiles. :-)
  • La version pour mes élèves:
    Contraposée d'un théorème: Si la conclusion est fausse alors les conditions ne sont pas remplies.
    Raisonnement par l'absurde: Si on ajoute une donnée à celles que l'on a déjà et que l'on aboutit à une contradiction alors cette nouvelle donnée est fausse.
    Pas l'impression que cet absurde corresponde vraiment à ce que vous exposez ici, mais cela correspond plutôt bien à ce que l'on met derrière le mot "absurde" et est plutôt simple à utiliser. Ça passe où je dois réviser ma copie?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Vassillia
    Modifié (December 2023)
    Bonjour @Soc
    Pour moi, ta version ne correspond pas vraiment (sans que ce soit forcément grave), je me permets de citer l'une de ces discussions interminables dont parle @GaBuZoMeu https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2331152/non-raisonnement-par-labsurde 
    J'avais tenté une version pour lycéen mais d'autres aussi, tu y trouveras sûrement ton bonheur.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2023)
    C’est bien ce que tu dis Soc, ça ne correspond pas à la véritable définition mais bien à ce qui est utilisé un peu partout et même presque partout, supérieur compris.
    Donc, tu peux revoir ta copie pour ta culture générale mais tu ne risques pas grand chose. 
    Remarque : cette histoire de donnée ajoutée me laisse perplexe. 
  • Soc
    Soc
    Modifié (December 2023)
    Du coup d'où vient cette différence entre l'usage et les logiciens?
    "A et non ( A et B ) => non B " ne doit effectivement pas choquer les logiciens, mais pourquoi le mot "absurde" est affecté à autre chose?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2023)
    C’est encore plus subtil
    On n’appelle pas tous les raisonnements qui conduisent à l’absurde « raisonnement par l’absurde ». En effet, parfois on fait un raisonnement, on en déduit un truc absurde et ce n’est pas pour autant un raisonnement par l’absurde (RPA). 
    Mais j’ai peur de relancer… 
    Je précise juste :
    1) RPA est un axiome qui dit :
    « quelle que soit la proposition P, si non(non(P)) alors P ». 
    2) Puisque l’on a rappelé que non(P) c’est P=>absurde on peut alors aussi dire que RPA est l’axiome qui dit :
     « quelle que soit P, si non(P) => absurde alors P ». 
    C’est juste une réécriture du 1). 
    La discussion pointée doit j’imagine répondre à tout ça. 
  • Foys
    Modifié (December 2023)
    @Soc il existe un système formel appelé logique intuitionniste, qui utilise les mêmes formules que la logique usuelle mais des règles de déduction différentes (sauf que si on lui ajoutait le droit d'invoquer à tout moment $A \vee (\neg A)$ en tant que théorème, toutes autres choses égales,  on retrouverait alors la logique classique habituelle).
    Dans ce système il y a, pour toutes formules $A,B$, une preuve de $\left [ (A \Rightarrow B ) \wedge \left (A \Rightarrow (\neg B ) \right ) \right ] \Rightarrow (\neg A) $ ("contraposition").
    En revanche il existe des formules $A,B$ pour lesquelles il est impossible de démontrer (en logique intuitionniste) $\left [ \left ((\neg A) \Rightarrow B \right) \wedge \left ((\neg A) \Rightarrow (\neg B ) \right ) \right ] \Rightarrow A$ ("raisonnement par l'absurde"). Une invocation d'au moins un $C \vee (\neg C)$ ("tiers exclu") serait indispensable à cette fin.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • hx1_210
    Modifié (December 2023)
    La contraposée est une relecture de l’implication.
    Formellement c’est l’implication qui fait argument
    le raisonnement par l’absurde c’est le constat de l’impossibilité de  Non A et A.

    Il y a confusion entre les deux parce qu’ils servent souvent à démontrer la même chose.
  • Démontrer une assertion en disant « cette assertion est vraie car j’ai démontré sa contraposée », c’est utiliser le RPA. 
  • Soc
    Soc
    Modifié (December 2023)
    Le résume de ce que j'ai compris:
    On appelle logique intuitionniste un système d'axiomes dépourvu du tiers exclus. Sans tiers exclus on ne peut pas démontrer le raisonnement par l'absurde. mais la contraposée tient toujours. Ce ne sont donc pas des implications équivalentes, même si en logique usuelle on peut les amalgamer sans risque. C'est clair pour moi (le résumé, pas forcément la démonstration de tout ce qui est derrière). Merci j'ai appris des choses!
    En revanche je m'interroge sur le choix historique du mot "absurde". Est-ce que l'usage avant la logique formelle du mot "absurde" était pour désigner ce que j'appelle encore absurde (on ajoute une donnée dont on démontre qu'elle n'est pas cohérente avec les autres) ou était-ce déjà ce que la logique a formalisé (non non A => A)? Et pourquoi avoir changé (si tel est le cas)?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2023)
    1)
    C’est plutôt « accepter le tiers exclu c’est équivalent à accepter le RPA ». (En fait le RPA c’est une proposition - un axiome - et non « une manière de raisonner »). 
    Donc oui, tu as raison « sans tiers exclu on ne peut pas démontrer le RPA ». 
    2)
    Aussi « sans RPA on n’a plus équivalence entre une proposition et sa contraposée ». 
    Donc non, on ne peut pas dire « la contraposée tient toujours ».
    Plus exactement, sans tiers exclu, on démontre seulement que : si A=>B, alors nonB => nonA. 
    3) 
    Dans les discussions on parle parfois de l’apagogie positive et de l’apagogie négative.
    Les deux consistent à déduire l’absurde à la fin et à dire « donc ceci… ». C’est en ce sens que je disais « ce n’est pas parce que l’on déduit l’absurde que l’on effectue un raisonnement par l’absurde ».
    L’une (des apagogies) utilise le RPA et l’autre ne l’utilise pas (j’ai un doute sur laquelle ou laquelle mais c’est très clairement dit par GaBuZoMeu dans une des discussions). 
    Je ne sais pas répondre sur l’utilisation du terme « absurde », question que tu poses à la fin. 
  • Congru
    Modifié (December 2023)
    L'expression "raisonnement par" est à mon avis à jeter très très loin, dans une déchetterie pire qu'un trou noir.
    Le commentaire de @GaBuZoMeu m'a fait penser à ce vieux théorème:
    Soit  $T$ une théorie et $F$ un énoncé, alors $T\vdash F$ si et seulement si $\bigcup \{T;\{\lnot F\}\} \vdash \perp $.
    En somme ce théorème est le "raisonnement par l'absurde".
  • Foys
    Modifié (December 2023)
    L'expression "raisonnement par" est à mon avis à jeter très très loin, dans une déchetterie pire qu'un trou noir.

    @Congru Tu exagères. Elle a fini par s'imposer. Ce qui compte est de savoir ce qu'il y a  (de formel) derrière.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @dom: "sans tiers exclu, on démontre seulement que : si A=>B, alors nonB => nonA. " C'est bien cela que j'appelle la contraposée, et non l'équivalence.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Soc
    Soc
    Modifié (December 2023)
    Sinon, en regardant cela autrement je comprends mieux la différence entre ma vision de l'absurde et celle des logiciens et elle est je crois peu importante. C'est juste une question de point de vue.
    Quand je regarde un exercice ou un théorème à prouver, je me place dans le cadre où les données D dont vraies. Si je veux faire une démonstration par l'absurde, ce que je veux considérer comme absurde c'est le truc faux que je rajoute. J'ajoute donc une hypothèse H qui me semble absurde. J'aboutis à une contradiction ( "D et H" est faux, mais D est vrai ) j'en conclus que l'hypothèse supplémentaire H est bien absurde.
    Cela donne non "D et non (D et H) => non H"
    Pour les logiciens, l'absurde est non (non A) => A.
    Dans A je fais une partition entre ce que je sais déjà être vrai D et ce pour quoi je ne sais pas encore H. Distinction qui n'intéresse pas les logiciens mais qui est précieuse pour les élèves. Je crois aussi que les logiciens réfutent la formulation "D est vrai" et ne considèrent que l'implication, c'est à dire "D vrai" implique "whatever". C'est plutôt sur ce point que je fais de l'hérésie.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Sur la contraposée. 
    Ok tu appelles cela comme ça. 
    Mais en général, quand on a une assertion à démontrer « A => B » et que l’on dit « je vais raisonnement par contraposée » c’est que l’on se dit qu’on va démontrer « nonB => nonA » pour en déduire « A => B ». 
    Or le théorème « si nonB => non A alors A => B » n’est pas valable sans le tiers exclu. 
    De mon point de chez c’est plutôt ce théorème que les gens utilisent pour « faire un raisonnement par contraposée ». 

    Rappel : je viens d’utiliser l’expression « raisonnement par contraposée » et c’est peut-être une erreur (très courante). Au tout départ, la contraposée d’une assertion est juste une autre assertion et il n’est pas question de parler de raisonnement. 
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2023)
    Je ne dirais pas « pour les logiciens, l’absurde est non(non(A)) => A ». 

    Il me semble que c’est : 
    « l’absurde c’est un contradiction, c’est déduire « tout » dont le symbole est $\perp$ ». 
    Mais l’axiome dit du « Raisonnement Par l’Absurde » c’est « non(non(A) => A ». 

    Je ne crois pas judicieux d’utiliser les mots « vrai » et « faux » pour s’initier à ces subtilités. 
    Pour démontrer A => B on ne suppose pas « A vrai », on suppose « A ». 
  • OK, je comprends mieux ton objection. Pour mes élèves c'est bien le sens que je dis (on sait le théorème vrai, et on utilise la contraposée du théorème en question pour démontrer que dans tel cas les conditions ne peuvent pas être remplies).
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • zygomathique
    Modifié (December 2023)
    Salut
    je suis cette discussion ... et je suis intéressé par votre avis ...

    Soit P la proposition "$ \sqrt 2$ est un irrationnel"
    quelle est la nature des trois raisonnements suivants (par contraposée, par l'absurde, par récurrence, ....) ?
    Raisonnement 1.
    Supposons $\neg P$
    donc $ \sqrt 2$ est rationnel et par définition il existe  des entiers naturels p et q tels que $ \sqrt 2 = \dfrac p q$ avec $ q \ne 0$
    et supposons de plus que $p \wedge q = 1$  (proposition Q)
    alors $ p^2 = 2q^2 $
    donc par définition 2 divise p et alors p = 2m
    donc $2m^2 = q^2$
    donc par définition 2 divise q ...
    donc 2 divise p et q ce qui est contradictoire avec Q (ou ce qui implique $\neg Q$)
    on vient donc de démontrer que $ (\neg P \wedge Q) \Longrightarrow \neg Q$
    donc $ \neg P$ est fausse et par conséquent P est vraie

    Raisonnement 2.
    Supposons $\neg P$
    donc $ \sqrt 2$ est rationnel et par définition il existe  des entiers naturels p et q tels que $ \sqrt 2 = \dfrac p q$ avec $ q \ne 0$
    alors $ p^2 = 2q^2 $
    donc $v_2(p^2)$ est paire et $v_2(2q^2)$ est impaire (*)
    or un pair n'est pas impair (et réciproquement)
    on vient donc de démontrer que $ \neg P \Longrightarrow \perp$ 
    donc $ \neg P$ est fausse et par conséquent P est vraie
    (*) au lycée on traduirait cela avec le théorème (connu) de décomposition en produit de nombres premiers et on écrirait $p = 2^k(2m + 1)$ 

    Raisonnement 3.
    Supposons $\neg P$
    donc $ \sqrt 2$ est rationnel et par définition il existe  des entiers naturels p et q tels que $ \sqrt 2 = \dfrac p q$ avec $ q \ne 0$
    d'après le théorème ... (*) on peut écrire $ p = 2^m(2a + 1) $ et $ q = 2^n (2b + 1)$
    si m < n alors $ 2a + 1 = 2^{n - m} (2b + 1)$
    puis conclusion identique au raisonnement 2
    si m > n cas identique au cas précédent
    si m = n alors $ 2a + 1 = 2b + 1 \Longrightarrow a = b$
    donc p = q et $ \sqrt 2 = 1$
    on vient donc de démontrer que $ \neg P \Longrightarrow \perp$ 
    donc $ \neg P$ est fausse et par conséquent P est vraie
    Quel est donc votre avis ?
    On pourrait ajouter un raisonnement 4 sans l'hypothèse de "primalité entre eux" de $p$ et $q$ et faire une "descente infinie" en divisant par $2$ alternativement $p$ et $q$ ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Foys
    Modifié (December 2023)
    "$\sqrt 2$ est irrationnel" est la négation de "$\sqrt 2$ est rationnel", autrement dit $\neg (\exists p,q\in \N,\ p^2 = 2q^2 \wedge q \neq 0)$.

    Ce sont souvent des raisonnements par contraposition qui sont utilisés pour montrer ce résultat.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2023)
    Je vais dire autrement ce que dit Foys et ajouter quelque chose.
    J'utilise la notation déjà utilisée P et j'ajoute une notation q pour les propositions.

    q : $\sqrt{2}$ est rationnel
    P : $\sqrt{2}$ est irrationnel

    1)
    On a alors : 
    non(q) : $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel
    non(q) : $\sqrt{2}$ est irrationnel
    non(q) = P [c’est le message de Foys]

    2)
    non(P) : $\sqrt{2}$ n'est pas irrationnel
    non(P) = non(non(q))

    L'auteur d'un tel texte utilise alors des choses sans le savoir ou bien sans les expliciter mais en le sachant...
    Et s'il ne le sait pas, c'est au tout tout tout début.

    Il dit : supposons non(P) donc q.

    C'est ce "donc" que je pointe.
    Je traduis ce que dit l'auteur : 

    3)
    supposons non(P) donc q
    supposons non(non(q)) donc q
    C'est ici qu'il vient d'appliquer sans le dire le RPA.
    Mais souvent l'auteur croit qu'il n'a pas encore raisonné. Pour lui "c'est tellement évident que ce n'est pas la peine d'expliciter ce DONC".
    Tout le reste, je ne m'y attarde pas.

    4) 
    La plupart des démonstrations sur cette irrationnalité de $\sqrt{2}$ commencent par.
    "On va raisonner par l'absurde pour démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
    Supposons que $\sqrt{2}$ est rationnel."
    4.a)
    Je traduis : 
    On va démontrer P.
    Supposons q.
    4/b)
    Je traduis encore : 
    On va démontrer non(q).
    Supposons q.
    4.c)
    Quand on démarre comme ça, on ne fait aucun RPA.
    Quand on démarre comme ça et que l'on obtient une absurdité, c'est juste que l'on démontre non(q).
    Ainsi, P est démontré sans RPA.

    Voilà.
    J'ai mis des numéros pour connaître d'éventuels points de désaccord.
  • Neknek
    Modifié (December 2023)
    Bonjour,
    un raisonnement par l'absurde ce n'est pas bien compliqué : sous les hypothèses éventuelles que l'on s'est données si on n'arrive pas à démontrer directement le résultat qui nous semble correct alors peut supposer "de manière absurde" que le résultat n'est pas vrai, et on cherche ce que cela entraîne.
    Si cela entraîne une contradiction alors c'est que le résultat cherché est correct.
    Le mot "absurde" est tout à fait naturel car il n'y a aucune raison de supposer de prime abord que le résultat n'est pas vrai.
    Si on a bien compris cela, il n'y a pas de confusion avec la contraposée.

    Pas besoin de tout un topic plein de formalisme logicien (utile pour bien d'autres choses), pour quelque chose d'aussi naturel, simple et intuitif.

    (Il faut déjà bien comprendre l'aspect naturel avant de passer à tout formalisme, et non pas partir du formalisme pour essayer de comprendre quelque chose qui est naturel, c'est un peu la même chose qu'avec le "si .. alors ..." et l'implication logique.)
    En espérant que cela puisse aider certains lecteurs.
    Bonnes fêtes.
  • @zygomathique : Ben, justement, dès la première ligne tu tombes dans le « piège ». Quand tu dis « $\sqrt{2}$ n’est pas irrationnel donc il est rationnel », tu utilises l’axiome $\neg\neg P \rightarrow P$ qui est équivalent au tiers-exclu. Ton raisonnement est donc un raisonnement par l’absurde (i.e. un raisonnement que les intuitionnistes n’accepteraient pas) mais si on change un tout petit peu le début, il ne l’utilise plus. Il aurait suffi d’écrire : « démontrons que $\sqrt{2}$ n’est pas rationnel. Pour cela, supposons qu’il est rationnel, bla-bla-bla ». C’est exactement comme si tu nous demandais « est-ce que Superman apparaît dans l’histoire suivante : « Superman arrive, dit bonjour à Toto qui ne l’entend pas, s’en va, et Toto écrase une fourmi ». Ben, oui, il apparaît, mais il ne sert à rien.

    Mon avis est le suivant : une démonstration, ça se suit ligne par ligne et ça se juge : accepté-je cette déduction ? Accepté-je cette hypothèse ?
    L’habitude et l’entraînement donnent aux mathématiciens et mathématiciennes la capacité de juger très vite ces déductions et hypothèses ; en particulier, tout le monde arrive très vite à accepter $\neg\neg P \rightarrow P$. Or la logique intuitionniste nous enseigne qu’accepter des raisonnements par l’absurde et des contraposées, ce n’est pas la même chose. Comme beaucoup de monde n’apprend pas la logique, beaucoup de monde ne voit pas la différence. Libre à tout le monde de ne pas vouloir voir la différence, mais je pense que c’est une mauvaise idée de venir dire à des gens qui veulent comprendre cette différence qu’il n’y a pas besoin de logique. Ben, si, justement : la logique mathématique s’est justement développée notamment lors de l’étude de cette différence.
  • Si je ne m’abuse, les raisonnements dits « par contraposée » utilisent « [non(b)=>non(a)] DONC [a=>b] » mais on a besoin du RPA pour utiliser ce « DONC ». 

    Par contre, sans RPA on a le droit d’affirmer : « [a=>b] DONC [non(b)=>non(a)] » dont l’utilisation tel quelle n’est pas trop répandue. 
  • Non, non, tu t’abuses. Un raisonnement « par contraposée c’est le deuxième truc que tu dis. Par exemple, avec $A$ qui vaut « $\sqrt{2}$ est rationnel » et $B$ qui vaut « faux ».
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2023)
    Ha ! Je n’avais pas vu cela comme ça. 
    Certes. C’était plutôt la définition de la négation pour moi ( « non(…) := [… => tout] »). Mais je vois que cela revient au même. 
    Dans mon esprit, dans les exercices typiques (lesquels ?) de L1/L2, les raisonnements par contraposée sont plutôt mon premier truc.
    Zut je n’ai pas d’exemple immédiat sous la main. 
  • Thierry Poma
    Modifié (December 2023)
    Bonjour
    Suite à ceci, la règle pseudo-spécifiée\[\begin{array}{rcl}\Gamma,\,\sqrt{2}\in\Q&\vdash&\bot\\ \hline\Gamma&\vdash& \neg(\sqrt{2}\in\Q)\end{array}\] où $\Gamma$ est un ensemble d'hypothèses éventuellement vide, reflète en surface le raisonnement couramment employé pour montrer que $\sqrt{2}\not\in\Q$, la fameuse apagogie négative acceptée en logique intuitionniste qui n'a rien de commun avec un vrai RPA.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Je rappelle que notre bien-aimé @Dom avait ouvert ce fil, avec de nombreuses interventions sur la question.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Soc
    Soc
    Modifié (December 2023)
    @Dom. Au collège, un peu répandue quand même !
    "AB²<>AC²+CB²" donc "ABC n'est pas rectangle en C"
    "AB/AM<>AC/AN" donc "(BC) et (MN) ne sont pas parallèles"
    "ad<>bc" donc "a/b<>c/d"
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2023)
    Voilà ! Très bien. 
    Pythagore : Rectangle => Égalité (je note R => E)
    Comme on a ce théorème, on en déduit aussi sa contraposée non(E) => non(R). 
    Ok pour ça. C’est le sens 1. 
    Mais je parle du sens 2. 
    Dans des preuves ou pour montrer P => Q on dit « je vais démontrer non(Q) => non(P) et j’en déduirai P => Q » ou souvent l’auteur dit « c’est plus facile par contraposée ». 
  • Neknek
    Modifié (December 2023)
    Pour compléter mon post, on peut se poser la question de savoir si le raisonnement par l'absurde est une démonstration.

    D'après ce que j'ai compris sur ce topic (mais il est fort probable que je me trompe car je ne suis pas un grand logicien) il y a plusieurs logiques :
    - une classique qui admet le tiers exclus (donc pour admettre qu'un résultat est vrai on peut se contenter indirectement de démontrer qu'il n'est pas faux, en gros pour montrer que je suis dans un ensemble je démontre que je ne suis pas dans le complémentaire) et qui comprend le raisonnement par l'absurde.
    - une intuitionniste sans tiers exclus (donc pour admettre qu'un résultat est vrai il faut une démonstration "directe" ou "construite") qui ne comprend pas le raisonnement par l'absurde.

    Du coup je me pose une question : y a-t-il deux exemples de résultats connus (un de niveau collège-lycée et un de niveau supérieur) qui est démontrable en logique classique et qui ne l'est pas en logique intuitionniste ?
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2023)
    Je ne sais pas le démontrer mais les exemples que je connais grâce à ce forum sont liés par exemple à l’irrationalité justement. L’exercice consiste à parler de topologie… (ou au moins d’utiliser le langage de la topologie). Il faudrait retrouver cela, ça a été proposé de multiples fois. 
    Tout ça pour dire qu’avec le collège, non, je ne crois pas. Sans compter que dans le secondaire, aucun axiome n’est donné explicitement, donc on va avoir du mal à parler de théorie de la démonstration. 
  • Merci pour ta réponse Dom, en attendant éventuellement d'autres je complète ma question :  les deux logiques sont-elles étudiées de manière indifférenciée pour faire progresser les connaissances ou existe-t-il une "école intuitionniste" et une "école classique" qui "s'affrontent" (avec éventuellement des mathématiciens de renom dans chaque) ?

    Je m'arrêterai là pour la digression, encore désolé pour celle-ci.
  • Il y a incontestablement des mathématiciens ne travaillant que dans le cadre de leur logique favorite, pour des raisons qui peuvent aller de la philosophie à l'ignorance des autres logiques (à la mode de M. Jourdain), et tout aussi indéniablement des mathématiciens (logiciens entre autres) qui voient le choix d'une logique au même titre qu'un choix d'axiomes (c'est des mathématiques, donc c'est légitime et cela produit des théorèmes), et puis il y a aussi des logiciens qui étudient les liens entre différentes logiques (le non-non théorème de Gödel)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Foys
    Modifié (December 2023)
    existe-t-il une "école intuitionniste" et une "école classique" qui "s'affrontent" (avec éventuellement des mathématiciens de renom dans chaque) ?

    @Neknek c'était plutôt vrai à l'époque où la logique intuitionniste a été inventée par Brouwer (années 1910, il y eut des polémiques avec les autres mathématiciens, notamment Hilbert).
    Dans les années 60 l'intuitionnisme a connu un regain d'intérêt avec la correspondance de Curry-Howard (domaine assimilant les preuves de mathématiques à des programmes informatiques) et l'introduction d'autres structures mathématiques comme les topos, dans lesquels la logique intuitionniste trouve des applications naturelles.

    De nos jours il n'y a plus d'affrontement entre logique classique et intuitionniste, il s'agit simplement de deux systèmes formels avec leurs règles, faisant partie intégrante du paysage mathématique. Une présentation propre de la logique intuitionniste formelle se trouve dans le livre " Introduction à la logique - 3e éd.: Théorie de la démonstration" de René David, Karim Nour et Christophe Raffali.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Foys merci pour ta réponse qui complète mes recherches par ailleurs.
  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2023)
    @Soc
    on ne parle pas de la même chose…
    toi, tu dis que en connaissant le théorème de Pythagore, on applique parfois sa contraposée. 
    moi, je dis que sans connaître ni un théorème, ni sa contraposée et en voulant démontrer le théorème, parfois on choisit pour des raisons de commodité de démontrer sa contraposée puis de dire « donc le théorème est démontré ». 
    [@Georges Abitbol j’ai ajouté un message juste au dessus https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2459885/#Comment_2459885 qui pointe vers un message de GaBuZoMeu]
  • PetitLutinMalicieux
    Modifié (6 Jan)
    Bonjour
    Il y a équivalence entre "le triangle est rectangle" et "$a^2=b^2+c^2$". J'aurais préféré un exemple non-bidirectionnel. Sinon, on ne peut pas contrôler. Tout est vrai, ou, tout est faux. Par exemple, "s'il pleut, je prends un parapluie", s'il fait beau, tu ne peux rien déduire sur le parapluie. Alors que là, si le triangle n'est pas rectangle, je sais que l'égalité est fausse. Caractériser une contraposée dans ce contexte est moins convaincant.
  • rectangle → parallélogramme donc pas parallélogramme → pas rectangle.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Dom
    Dom
    Modifié (6 Jan)
    Même avec des équivalences, on est parfois tenté de démontrer la contraposée d’une assertion pour démontrer l’assertion. C’est de ce « raisonnement par contraposée » dont je parle. 
    Petit exemple qui vaut ce qu’il vaut :  
    quel que soit l’entier $n$, si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.
    Le raisonnement direct semble plus poussif que de démontrer la contraposée.
  • SMI
    SMI
    Modifié (6 Apr)

    Eric Lehman donne une explication que je trouve limpide dans son Mathématiques pour l’étudiant de 1re année.

  • Lirone93
    Modifié (6 Apr)
    Tu as de la chance car soit je n'ai rien compris, soit c'est Eric Lehman qui n'a rien compris.
    Et dans sa preuve que c'est lui qui aurait raison, il faut un raisonnement par l'absurde ou par contraposée...?
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.