Nom d’une construction ? Autres exemples ?

Georges Abitbol

Bonsoir, 
je voudrais savoir si la construction suivante a un nom : 

on part d’une catégorie $C$, avec une sous-catégorie $C’$. On prend un objet $O$ dans $C$ et on considère la catégorie des morphismes $O\rightarrow A$ (ou dans l’autre sens, comme on préfère), et les morphismes sont ceux qui viennent de $C’$, i.e. à tout morphisme $f : A\rightarrow B$ on fait correspondre le morphisme qui envoie $g: O\rightarrow A$ sur $f \circ g$.

Parfois, il existe un objet initial (ou terminal) dans cette catégorie, et c’est la $C’$-ification de $O$ (par exemple, l’abélianisé d’un groupe peut se décrire comme ça). Parfois, non.

Est-ce que cette construction a un nom ? Est-ce que vous avez d’autres exemples ?

Pour la petite histoire, la mécanique quantique, c’est ça avec la théorie des treillis orthocomplémentés orthomodulaires et la sous-catégorie des tels treillis qui sont distributifs (grosso modo).

Maxtimax

Salut Georges, je passe par hasard et vois que personne ne t'a répondu. Je ne sais pas si cette catégorie a un nom, mais elle a une notation: $C'\times_C C_{O/}$.

Les catégories de la forme $C_{O/}$ (ou dans l'autre sens) s'appellent des "slice categories" en anglais, donc peut-être "tranche" ? Et pour celle tirée en arrière vers $C'$, on l'appelle aussi slice parfois par abus, ou peut-être "relative slice". 

Je ferai remarquer que pour cette construction (en tout cas, avec la notation que j'ai fourni), on n'a pas besoin que $C'$ soit une sous-catégorie: il suffit d'un foncteur $C'\to C$ pour lui donner un sens. L'existence d'une "$C'$-ification" comme tu le dis reviens à l'existence "locale" d'un adjoint à gauche de $C'\to C$ (et si tu fais $C_{/O}$ à la place, c'est un adjoint à droite). C'est une terminologie malheureusement peu répandue, mais on parle bien d'adjoint local lorsque ça n'existe pas pour tout $O$, et uniquement pour certains $O$. 

Et ensuite tu as un critère local d'existence d'adjoints: si pour tout $O$, il y a un adjoint local, alors il y a un adjoint au foncteur $C'\to C$. 

Georges Abitbol

Salut Max, j'espère que tu vas bien ! Merci pour ta réponse ! Je vais regarder un peu cette terminologie. Si je comprends bien ce que tu dis, alors, dans la situation qui m'intéresse, en fait les seuls objets de $C$ qui se $C'$-ifient sont ceux qui sont déjà dans $C'$.