Calendrier de L’Avent II

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Réponses

  • marco
    Modifié (December 2023)
    Si il n'existe pas de $t>0$ tel que $t>x$ et $f^{(-1)}(t)\leq t$. Alors, pour tout $t$ suffisament grand, $f^{(-1)}(t)>t$, donc $f(t)>f(f(t))$ car $f$ croissante. Mais $f(f(t))=tf(t)>f(t)$ dès que $t>1$. Contradiction.
    Donc il existe $t>0$ avec $t>x$ tel que $f^{(-1)}(]0,t]) \subset ]0,t]$
  • john_john
    Modifié (December 2023)

    Jour 22




    Radinons-nous à nos moutons

    Aujourd'hui, l'amas ovin s'accroît : il y a $n$ moutons ($n$ surpassant trois) batifolant dans un champ clos, s'inspirant du JOUR 17. Caramba ! Voyons-nous toujours un rang d'oignons ?

    Pas trop clair, tout ça ? Cliquons ci-dessous !

    Revenons à nos moutons
    Le troupeau s'agrandit : $n$ moutons jouent à saute-mouton comme au jour 17 : $1$ saute par-dessus $2$, qui saute ensuite par-dessus $3$, etc. Quand $n$ a sauté par-dessus $1$, le cycle recommence. Si le groupe reste borné, est-il obligé de rester inclus dans une droite affine du plan ?

  • @john_john
    @Namiswan
    Pour le saute-mouton, la CNS d'alignement initial mérite d'être précisée (du style rapport de longueurs).
  • Magnéthorax : oui, effectivement ! Si $V$ et $W$ sont des vecteurs propres de la matrice du jour 17, associés respectivement aux valeurs propres $1$ et $-2+\sqrt5$, alors le gruppetto reste borné ssi les affixes complexes de ses positions initiales forment un triplet combinaison linéaire (à coefficients complexes) de ces deux vecteurs.
  • J'ignore si certains cherchent l'exercice de ce matin, mais je pense qu'il serait plus juste de ma part de ne pas publier trop tôt la solution, car j'ai eu quarante-huit heures pour y réfléchir (je n'ai pas dit que j'ai cherché pendant quarante-huit heures).

    Des indications ?
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2023)

    Jour 23

    Pour aujourd'hui, je sors du programme de classe préparatoire : je vous partage des exercices qu'on m'a posé lorsque j'ai passé les oraux de l'agrégation.

    Analyse et Probabilité - Leçon sur la compacité
    Déterminer les sous-espaces vectoriels $F$ de $\mathcal{C}^{\infty}([0,1],\R)$ stable par dérivation et pour lesquels $\varphi : f\mapsto f'$ est continu pour la norme $\|\cdot\|_\infty$.

    Algèbre et géométrie - Leçon sur la dualité et les formes linéaires
    Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie. Pour toute partie $X$ de $E$, on définit $X^\ast=\{\varphi\in E^\ast\mid \varphi(x)\leq 1\}$ et $X^{\ast\ast}$ de manière analogue. Déterminer $C^{\ast\ast}$ lorsque $C$ est une partie convexe et fermée de $E$ contenant le vecteur nul.

    NB : J'avoue ne pas avoir eu le courage d'écrire l'énoncé sans la lettre "e".
  • Namiswan
    Modifié (December 2023)
    @john_john
    La question est de savoir si la matrice associée a une unique vp plus petite que 1. J'ai cherché un peu aujourd'hui mais n'ai pas trouvé. La réponse est elle oui? (si il faut juste exhiber un contre exemple, c'est moins intéressant...)
  • JLapin
    Modifié (December 2023)
    C'est une histoire d'équicontinuité, c'est ça ?
  • marco
    Modifié (December 2023)
    Pour $n$ moutons, j'ai calculé le polynôme caractéristique de la matrice, et j'ai trouvé $(X+1)^n-2^nX$. Je pensais qu'il fallait trouver au moins deux valeurs propres plus petites que $1$ en module (autre que la valeur propre $1$), pour que le caractère borné ne nécessite pas l'alignement.
    Il y a toujours une valeur propre comprise entre $0$ et $1$ strictement, et si $n$ est impair, il y a une valeur propre plus petite que $-1$.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2023)
    Oui. Perspicace et rapide. On est même pas le 23 encore :D
    NB : j’ai ajouté l’exercice d’algèbre et géométrie tout de suite finalement.
  • raoul.S
    Modifié (December 2023)
    Jour 23 deuxième question :
    On a $C^{**}=C$. En effet il est immédiat que $C\subset C^{**}$, la difficulté étant de montrer que $C^{**}\subset C$. On va montrer que si $y\not\in C$ alors $y\not\in C^{**}$. Soit donc $y\not\in C$, il existe un hyperplan affine $H$ séparant strictement $C$ et $\{y\}$ (c'est Hahn-Banach en dimension finie). Par conséquent, il existe une forme linéaire $\varphi$ telle que $\forall x\in H, \varphi(x)=1$. Étant donné que $\varphi(0)=0$ et que $0\in C$, on en déduit que $\forall x\in C, \varphi(x)<1$ et par suite, $\varphi(y)>1$. Donc $\varphi\in C^{*}$ et $y\not\in C^{**}$.
  • john_john
    Modifié (December 2023)
    marco, MrJ, Namiswan : je ne trouve en effet dans $\C$ que deux v.p. de module $\leqslant1$, dont la v.p. $1$. L'inegalite triangulaire y est pour quelque chose.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2023)
    @raoul.S : Bien joué !

    @john_john : Je vais essayer d'y réfléchir ; les moutons ne me faisaient pas rêver ( :) ), mais c'est une autre histoire s'il s'agit de valeurs propres.
  • john_john
    Modifié (December 2023)
    Jour 23 : de quelle norme l'e.v. ${\rm C}^\infty$ est-il muni ?

    En attendant la réponse, j'y réfléchis en prenant par défaut $||\cdot||_\infty$.
  • Régle que je viens d'inventer: une fois le jour passé, plus besoin de balises spoiler...

    Donc moi j'ai obtenu (au signe près) le polynôme caractéristique $P(x)=X^n-2X+1$. C'est peut être parce que je n'utilise pas exactement la même matrice que MrJ, ou bien c'est peut être moi, je me rend compte que je suis rouillé en déterminants...Admettons. On veut montrer qu'il n y a que deux racines $z$ dans le cercle unité, $1$ est une autre réelle (manifestement proche de $1/2$ pour $n$ grand). Je sépare le cas $|z|$ est plus grand ou plus petit que $3/4$ (choisi un peu arbitrairement).
    1)Je remarque que $P(z)=0 \Rightarrow P(|z|)\ge 0$. Si $|z|\ge 3/4$, le tableau de variations de $P$ montre que $|z|=1$, puis on déduit qu'en fait $z=1$.
    2) Par Rouché entre $P(X)$ et $-2X+1$ sur le disque de rayon $3/4$, je trouve que $P$ a une unique racine dans ce disque.
    Donc on a bien ce qu'il faut (en théorie...je suis allé un peu vite donc j'ai peut être une erreur de calcul). Je posterai p-e des détails si rien d'autre n'est proposé.

    Pour le jour 23 je connais, donc je m'abstiens.

  • john_john
    Modifié (December 2023)
    Namiswan : pour ma part, j'obtiens, comme marco, $P:=\chi_{_M}=(1+X)^n-2^nX$ (on obtient le tien en posant $Y=\displaystyle\frac{1+X}2)$ $\cdot$
  • john_john
    Modifié (December 2023)
    Jour 23, exercice 1 (mais j'aurais peut-être (non : sans doute) eu du mal à voir l'astuce sans le titre de la leçon !)

    La boule unité fermée de $F$ est compacte (merci Ascoli) et donc $F$ est de dimension finie (merci Riesz) et, si $n$ en désigne la dimension, les éléments de $F$ sont les solutions de l'EDO $\chi_{_{D_F}}(D)(y)=0$. Réciproquement, tous les sev de cette forme conviennent.

  • @john_john : c’était bien la norme infinie. Ta solution est correcte. C’est justement pour donner une petite indication que j’ai précisé le thème de la leçon.
  • Merci pour la précieuse indication implicite !
  • john_john
    Modifié (December 2023)
    Jour 22
    Je me suis demandé si l'étude de l'exercice du jour 17, où $n=3$, se généralisait ou non : l'espoir d'avoir des configurations non alignées laissait entrevoir des animations amusantes. Je n'aurais pas bouclé cela pendant une khôlle de 50 minutes...

    Si $V_k$ est le $n$--uplet des affixes complexes des moutons du troupeau au bout du $k$--ième cycle, on a $V_{k+1}=MV_k$, où
    $$M=\begin{pmatrix}-1&2&&&\\&-1&2&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&-1&2\\-2&4&&&-1\end{pmatrix}\in{\mathfrak{M}}_n(\R)$$
    Or, $\chi_{_M}=(1+X)^n-2^nX$, qui n'a que des zéros simples dans $\C$ pour $n\geqslant3$ (regarder le pgcd de $\chi_{_M}$ et de sa dérivée) ; la matrice $M$ est donc diagonalisable sur ce corps. La position des modules des valeurs propres par rapport à $1$ est donc cruciale.

    Une étude de fonction montre que $M$ admet comme valeurs propres réelles $1$, un scalaire $\lambda_0\in]0,\,1[$ et, si $n$ est impair, un scalaire $<-3$.
    En posant $z={\rm e}^{{\rm i}\vartheta}$ dans l'équation $\chi_{_M}(z)=0$, on voit facilement que $1$ est la seule valeur propre de module $1$ de $M$.
    Si $\lambda$ est valeur propre de $M$, posons $\varrho=|\lambda|\geqslant0$ ; on a donc $2^n\lambda=(1+\lambda)^n$ et donc $2^n\varrho\leqslant(1+\varrho)^n$ : donc, soit $\varrho>1$, soit $\varrho\leqslant\lambda_0$.

    Remarquons que $(1+X)^n-2^nX=(1+X)^n-2^n-2^n(X-1)$ ; donc, si $\lambda\neq1$ est une valeur propre de $M$, elle annule aussi
    $$(1)\ : \ (1+X)^{n-1}+2(1+X)^{n-2}+\cdots+2^{n-1}-2^n,$$
    de sorte que $(2)\ : \ 2^n\leqslant(1+\varrho)^{n-1}+\cdots+2^{n-1}$ ; or, si l'on remplace $\varrho$ par $\lambda_0$, on a l'égalité dans cette inégalité et cela montre que $\varrho\geqslant\lambda_0$.
    Il s'ensuit que $\varrho=\lambda_0$ et que $\lambda$ réalise l'égalité dans l'inégalité triangulaire qui fait passer de $(1)$ à $(2)$ : donc, $1+\lambda$ est un réel positif et cela ne peut être que $\lambda_0$.

    En conséquence, il n'y a que deux valeurs propres de $M$ de module $\leqslant1$ et, comme au Jour 17, la configuration de départ est forcément alignée (et elle le reste au cours des batifolages) : $V_0=\alpha V+\beta W$, où $V$ et $W$ sont des vecteurs propres associés à $1$ et à $\lambda_0$.
  • @john_john : merci, il fallait y penser !
  • De rien, marco, quoique le principe ne soit pas nouveau : on fait la même chose pour étudier les v.p. de module $1$ des matrices stochastiques, ou les v.p. extrémales dans le théorème de Perron-Frobenius.
  • etanche
    Modifié (December 2023)

    JOUR 24 



    (j’ai vu que c’est libre je propose un exercice)

    $A,B \in GL_2(\R)$ , $C=ABA^{-1}B^{-1}$, avec $AC=CA, BC=CB$
    Montrer que $AB=\pm BA$
  • john_john
    Modifié (December 2023)
    Un jour 24 vacant ? Ah non ; voici ma solution, un chouïa d'occupation pour nos circonvolutions. Aurait-on voulu plus illuminant ?

    Si $A$ est scalaire, le résultat est immédiat ; sinon, le commutant de $A$ est ${\rm Vect}\,({\rm I},\,A)$ et donc $C$ est de la forme $\lambda {\rm I}+\mu A$.
    En outre, $(AB=)\,CBA=BCA$ montre que $\lambda BA+\mu ABA=\lambda BA+\mu BA^2$ et donc $\mu(AB-BA)A=0$ puis $\mu(AB-BA)=0$.
    Si $\mu=0$, $C$ est scalaire et donc $AB=\pm BA$ car $C$ a $1$ pour déterminant (c'est un commutateur) mais aussi $\lambda^2$ ; sinon, on simplifie par $\mu$ et l'on a de toute façon $AB=BA$.

  • Ericpasloggue
    Modifié (December 2023)

    Jour 25


    La disparition du e entraine la disparition des cercles et triangles...
    Soient $ABC$ un triangle et $M$ un point de $(BC)$ ($M≠B$, $M≠C$). Soit $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ABM$. Soit $O'$ le centre du cercle circonscrit au triangle $ACM$.
    Montrer que les triangles $AOB$ et $AO'C$ sont semblables.
    Montrer que les triangles $AOO'$ et $ABC$ sont semblables.
    Cet exercice (qui ne vole certainement pas très haut) est pris dans un ouvrage (je laisse étanche deviner la source) ne contenant pas une trace de géométrie analytique (et très peu de transformations). Une solution synthétique est donc attendue (mais l'utilisation de transformations au programme de troisième est bienvenue).
  •  la disparition des cercles et triangles... mais il y a toujours un rond (inscrit, circonscrit) ou un  tripoint :)
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2023)
    Pour le jour 24, @john_john. Jolie solution. Le point clé repose sur le fait qu'une matrice de taille 2×2 non scalaire est cyclique ; ce n'est pas une trivialité pour un étudiant en spé (je crois que l'exercice est issu des planches de la RMS).

    Pour éviter de traiter tous les cas de réduction possible, il faut probablement justifier l'existence de $X\in\C^2$ tel que $(X,AX)$ forme une base de $\C^2$, puis ensuite faire la démonstration classique pour en déduire que le commutant de $A$ est $\C[A]$ (à moins qu'il existe une démonstration plus simple dans ce cas particulier).
  • Bonjour, MrJ,
    pour un élève de Spé, sans doute, mais, ici, il s'agit d'un exercice d'ENS. Quand j'étais en activité, je casais cela en début d'année car c'est une trousse de survie pour plus d'un exercice (ne serait-ce que pour le commutant d'un endomorphisme d'un e.v. de dimension $2$, ce qui dispense d'une interminable disjonction de cas).
  • etanche
    Modifié (December 2023)
    Comment on montre que le commutant de $ A \in M(2;\R)$ est $vect(I_2 ; A)$ ?
    Merci.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2023)
    @etanche : regarde les caractérisations des endomorphismes cycliques sur internet. Une d'elle est justement $Com(A) = K[A]$, ce qui est exactement le résultat dans ce cas.
  • etanche
    Modifié (December 2023)
    @ Mr.J est-ce que c’est le théorème 1 de
    https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/agreg/dvt/endom_cycliques.pdf ? Merci.
  • Pas besoin de théorème évolué.
    Si $A$ n'est pas une homothétie, il existe $X$ non nul tel que $(X,AX)$ soit libre, donc une base de $K^2$.
    On vérifie alors classiquement que si $M$ commute à $A$, alors $M\in K[A]$.
  • Ericpasloggue
    Modifié (December 2023)
    Je joins une figure pour le problème 25. Ça aidera peut-être à réfléchir (à la seconde question, la première n'étant qu'une formalité).

  • etanche
    Modifié (December 2023)

    JOUR 26


    j’ai vu que le jour 26 était libre, du coup je propose un exercice 

    Pour $n$ entier impair montrer que $\quad\displaystyle S(n)=\sum_{k=1}^{n-1} \sin(k^2\pi/n) \cot(k \pi /n) = \frac{n-1}{2}$,
    où $\cot(x)$ est la cotangente de $x$.
  • Et l'exercice de géométrie (pris dans Lebossé--Hémery, classe de troisième, chapitre Problèmes de révision) disparut sans laisser de trace...
  • Eric : non, non, je suis en train de faire une figure pour le 1), auquel je n'ai pas pu réfléchir hier (hips :) )
  • john_john
    Modifié (December 2023)

  • john_john
    Modifié (December 2023)
    Les triangles $AOB$ et $AO'C$ sont isocèles : il suffit de prouver que leurs angles en $A$ sont égaux. Pour cela, je montre qu'ils sont égaux à un même troisième : l'angle $MAH_A$ ; en effet, ils interceptent des arcs de même longueur dans le cercle circonscrit à $AMB$ (en rouge dans la figure). Ces arcs sont égaux car symétriques par rapport à la médiatrice de $BM$ : les points $A'$ et $A''$ le sont vu le parallélisme qui apparaît sur la figure, conséquence lui-même du théorème de Thalès.

    Je ne sais pas si c'est ce qui est attendu d'un élève de IIIème ; en attendant, c'est ainsi que je devais faire à mon époque (on ne parlait quasiment jamais de transformations).
  • ... si la question 1 a attendu si longtemps, c'est que, ni Pappus, ni Jean-Louis Aymé, ne l'ont vue passer.
  • Ericpasloggue
    Modifié (December 2023)
    Pour la première question, je propose ce qui suit (et qui dépasse ce qui était enseigné à l'époque, puisque j'utilise des angles orientés de droites et de demi-droites).
    L'angle inscrit $\widehat{AMB}$ et l'angle au centre $\widehat{AOB}$ interceptent le même arc sur le cercle circonscrit au triangle $AMB$, donc le théorème de l'angle au centre donne         \begin{equation*}
              2\times\mathrm{mes}(\widehat{(MA),(MB)})\equiv\mathrm{mes}(\widehat{AOB})\mod{360}.
            \end{equation*}         De même, en considérant le cercle circonscrit au triangle $AMC$, on obtient         \begin{equation*}
              2\times\mathrm{mes}(\widehat{(MA),(MC)})\equiv\mathrm{mes}(\widehat{AO'C})\mod{360}.
            \end{equation*}        Mais,        \begin{equation*}
              \mathrm{mes}(\widehat{(MA),(MB)})\equiv\mathrm{mes}(\widehat{(MA),(MC)})\mod{180},
            \end{equation*}        donc        \begin{equation}
              \mathrm{mes}(\widehat{AOB})\equiv\mathrm{mes}(\widehat{AO'C})\mod{360}.
            \end{equation}        On associe les triangles $AOB$ et $AO'C$ par        \begin{equation*}
              \begin{aligned}
                A&\leftrightarrow A, &
                O&\leftrightarrow O', &
                B&\leftrightarrow C.
              \end{aligned}
            \end{equation*}         On déduit de ce qui précède que $\mathrm{mes}(\widehat{AOB})=\mathrm{mes}(\widehat{AO'C})$. De plus, ces triangles  sont isocèles. Il s'ensuit qu'ils sont semblables.
  • john_john
    Modifié (December 2023)

  • Il faut sans doute discuter selon la place de $M$ dans la droite $(BC)$ mais, dans le cas de la figure, les angles $OAO'$ et $BAC$ sont égaux (utiliser les égalités d'angles $BAO$ et $CAO'$ et la formule de Chasles pour les angles en $A$. En outre, on a les égalités de rapports de longueur $AO/AO'=AB/AC$ grâce à la similitude de la question 1.

    Donc, $AOO'$ et $ABC$ sont semblables.
  • Ericpasloggue
    Modifié (December 2023)
    A priori, avec des angles orientés de droites, on ne devrait pas avoir à se soucier de la position de $M$ sur $(BC)$ (je mets le conditionnel ; ma solution ne dépend pas de la position, mais elle est particulièrement lourde et sans grande élégance).
  • Avec les angles orientés, effectivement, c'est inutile, mais ce n'était abordé qu'en classe de Première. Au reste, je me souviens de l'embarras des professeurs dans les petites classes lorsqu'il s'agissait de délimiter les arcs capables avec précision.
  • Ben314159
    Modifié (December 2023)
    Pour le Jour 26, je pense avoir une solution, mais en passant par des étapes un peu saugrenues . . .
    $\displaystyle\  S=\sum_{d=0}^{2n-1}\mbox{card}(A_d)\cos\Big(\frac{d\pi}{n}\Big),\ $ où  $A_d\!=\!\big\{(k,\ell)\!\in\!{\mathbb N}^2\mbox{ t.q. }0\!<\!\ell\!\leqslant\!k\!<\!n\mbox{ et }k(2\ell\!-\!k)\equiv d\ [2n]\big\}$
    puis j'établis une bijection entre $A_d$ et $A_{n+d}$ sauf pour $d\!=\!0$ où il y a un défaut de bijectivité facile à calculer.
  • john_john
    Modifié (December 2023)
    J'avais une autre idée, mais je ne vais pas avoir le temps de la poursuivre : sachant que le membre de gauche fait penser aux sommes de Gauss, essayons de le calculer de la même façon.

    Introduisons la fonction $f$ définie sur $[0,\,1]$ par $f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{(k+x)^2\pi}n\,{\rm cotg}\frac{(k+x)\pi}n$ (prolongée par continuité en $0$ et en $1$) ; elle est continue et ${\rm C}^1$ par morceaux et satisfait $f(0)=f(1)$, qui est la valeur attendue.

    Prolongeons-la par $1$--périodicité : le thm de Dirichlet montre alors que $f(0)=\displaystyle\lim\limits_{N\to+\infty}\sum_{p=-N}^N\int_{0}^{1}f(x)\cos2\pi px\,{\rm d}x$ ; on doit pouvoir, ici aussi, se ramener à une intégrale du type Fresnel (à $N$ fixé, permutation de $\sum$ et de $\int$ dans cette somme finie).
  • @ Ben 314159 peux-tu détailler un peu plus ?merci 
    @ john_john je ne vois pas trop comment l’intégrale de Fresnel apparaît. 
  • john_john
    Modifié (December 2023)
    etanche : j'ai procédé par analogie, mais le bébé se présente mal (dans les sommes de Gauss, on a tout de suite un produit d'exponentielles alors que, ici, on a un produit de trois fonctions trigonométriques).
  • etanche
    Modifié (December 2023)
    @ john_john peut-être l’analyse  complexe permet de calculer cette intégrale. 
  • etanche
    Modifié (December 2023)

    Jour 27

    ( j’ai vu que c’est libre je propose un exercice d’arithmétique)

    Trouver tous les $x,y$ entiers naturels tels que $$\frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x}=2023$$
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