Calendrier de L’Avent II
Bonjour à tous, et à toute
À l’instar du calendrier de l’avent de l’année dernière, il se devait d’en refaire un nouveau cette année. Il est un peu tard, mais vaut mieux tard que jamais !
À l’instar du calendrier de l’avent de l’année dernière, il se devait d’en refaire un nouveau cette année. Il est un peu tard, mais vaut mieux tard que jamais !
Déroulement.
Chaque jour, du 1er décembre au 31 décembre, un joli problème de mathématiques sera proposé par un volontaire avant 10h. Vous pourrez envoyer vos solutions complètes ou partielles à partir de 15h, (pour laisser tout les participants réfléchir, au moins le midi).
Restriction.
Il ne doit pas figurer la lettre e dans vos énoncés. (Vous pourrez demander à Anton Voyl la raison de cela)
Chaque jour, du 1er décembre au 31 décembre, un joli problème de mathématiques sera proposé par un volontaire avant 10h. Vous pourrez envoyer vos solutions complètes ou partielles à partir de 15h, (pour laisser tout les participants réfléchir, au moins le midi).
Restriction.
Il ne doit pas figurer la lettre e dans vos énoncés. (Vous pourrez demander à Anton Voyl la raison de cela)
Ici figurera la liste des volontaires et des dates attribuées :
1 : bd2017
2 : Quentino37
3 : bd2017
4 : MrJ
5 : john_john
6 : Boécien
7 : Namiswan
8 : bd2017
9 : gebrane
10 : JLapin
11 : MrJ
12 : john_john
13 : john_john
14 : Namiswan
15 : Boécien
16 : john_john
17 : Magnéthorax
18 : MrJ
19 : john_john
20 : john_john
21 : Namiswan
22 : john_john
23 : MrJ
24 :
5 : john_john
6 : Boécien
7 : Namiswan
8 : bd2017
9 : gebrane
10 : JLapin
11 : MrJ
12 : john_john
13 : john_john
14 : Namiswan
15 : Boécien
16 : john_john
17 : Magnéthorax
18 : MrJ
19 : john_john
20 : john_john
21 : Namiswan
22 : john_john
23 : MrJ
24 :
25 : Ericpaslogue
26 :
27 :
28 : Namiswan
29 :
30 : Syntaxe_error
31 :
Contactez moi en messages privée pour être rajouté, en se proposant pour une date, correspondant à la difficulté du problème ! (En envoyant le problème, au cas où il y a des doublons).
Résumé de l’année dernière ci joint :
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2332399/calendrier-de-l-avent/p1
26 :
27 :
28 : Namiswan
29 :
30 : Syntaxe_error
31 :
Contactez moi en messages privée pour être rajouté, en se proposant pour une date, correspondant à la difficulté du problème ! (En envoyant le problème, au cas où il y a des doublons).
Résumé de l’année dernière ci joint :
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2332399/calendrier-de-l-avent/p1
Je suis donc je pense
Réponses
-
La lettre e désigne le nombre $e$, ou littéralement la lettre est interdite dans les mots en français ? Si c'est la dernière chose, je préfère m'abstenir.
-
Vu la référence à Anton Voyl, je crains que ce ne soit effectivement la dernière chose...
-
Bonjour, Quntino,
j vux bin, comm l'an drnir, participr au calndrir de l'Avnt ; avant qu j propos ds dats, dis-moi si nous nous limitons à Analys/Proba/Arithmtiqu ou si l'Algbr st aussi la binvnu.
Cordialmnt, j__j
-
En mode AD cela donne sauf erreur "Je veux bien, comme l'an dernier, participer au calendrier de l'Avent. Avant que je propose des dates, dis-moi si nous nous limitons à l'Analyse/Probabilité/Arithmétique ou si l'Algèbre est aussi la bienvenue"
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
J'suis trop nul pour ça. Six mots sont durs alors un roman...
-
Cela dit, j'accepte de tenter des énoncés sans 'e' ; j'éviterai de ce fait la notion de non-dégénérescence.
-
Bonjour,
t ou st l'intrt ?
Cordialmnt,
Rcassol
-
L'intérêt : peut-être fêter l'anniversaire de La disparition ? Je devais être en Terminale à l'époque.
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@john_john L'algèbre est la bienvenueJe suis donc je pense
-
Alors, je propose les mardis 5, 12 et 19 et il y aura de tout
-
Et, pour ceux qui reculent devant un énoncé sous contrainte : au lieu de Calculer, écrire Calculons ; au lieu de Existe-t-il, écrire Avons-nous. Perec s'est imposé des contraintes cent fois plus difficiles, que diantre !
Chanson
par un fils adoptif du Commandant Aupick
Sois soumis, mon chagrin, puis dans ton coin sois sourd
Tu la voulais la nuit, la voilà, la voici
Un air tout obscurci a chu sur nos faubourgs
Ici portant la paix, là‑bas donnant souci.
Tandis qu'un vil magma d'humains, oh, trop banals,
Sous l'aiguillon Plaisir, guillotin sans amour,
Va puisant son poison aux puants carnavals,
Mon chagrin, saisis‑moi la main ; là, pour toujours
Loin d'ici. Vois s'offrir sur un balcon d'oubli,
Aux habits pourrissants, nos ans qui sont partis ;
Surgir du fond marin un guignon souriant ;
Apollon moribond s'assoupir sous un arc
Puis ainsi qu'un drap noir traînant au clair ponant
Ouïs, Amour, ouïs la Nuit qui sourd du parc. -
JLapin, tu vois, là encore, une fois de plus le tour de faiblisse de gebrane, Il était incapable de mettre du gras sur les quelques e du texte de Jhon alors que Le tour de force de Perec est de s’être abstenu dans un roman de plus de 300 pages, d’employer le e, la lettre la plus utilisée de la langue française.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Hello,
j'ai crû que l'idée avait été abandonnée
Tu peux me bloquer 3 ou 4 dates, disons 7,14,21,28, j'échangerai ou donnerai des dates si nécessaire.
Pour l'histoire du e...bon je ne promets rien. -
Bonjour
Exercice du jour 1.
Trouver tous les couples d'entiers satisfaisant l'équation$$ (x^2 + 1)(y^2 + 1)+2 (x - y)(1 - x y) = 4(1+ x y).$$
P.S exercice peut-être un peu "light" mais c'est le premier jour.
-
Mais il y a des e dans l'énoncé !
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Fouillons dans $\N\times\N$ ; là gît $(x,\,y)$ satisfaisant à $(x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1-xy)=4(1+xy)$.
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Prd krt skrz drn, zprv zhlt hrst zrn ; cette phrase en langue tchèque eût ravi Perec.
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Nouveau challenge alors : formuler les questions et les réponses en tchèque, sans utiliser la lettre "r".
Après je bloque. -
Ah ben non
c'est le 'r' (ou le 'l') qui sert de voyelle.
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Tu peux me noter les lundis 4, 11 et 18.
-
Bonjour,
Cordialement,
Rescassol
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C'est même 15h pour l'envoi des solutions
-
J'ai cru 10h je supprime le mienLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Je ne vois pas l’intérêt de ne pas poster sa solution avant 15H00 : il suffit de la cacher avec la balise "Révéler".
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Je suis favorable à cette petite contrainte imposée par Quentino37 pour éviter les tentations de cliquer sur la balise
-
Je veux bien m'occuper du jour 3.
-
Ok ! Ça marche !Je suis donc je pense
-
L'équation se résout en $y$, sous la forme $y=1+\displaystyle\frac{\pm2}{|x+1|}$ ; on n'aura des entiers que ssi $x\in\{-3,-2,0,1\}$.
-
Bonjour,
L'équation se factorise en $((x+1)(y-1)-2)((x+1)(y-1)+2)=0$, réunion de deux hyperboles équilatères.
Et $2$ n'a pas beaucoup de diviseurs.
Cordialement,
Rescassol
-
Jour 2.
1. Posons $n \in \mathbb{N^*}$. Soit $(z_1,\dots,z_n) \in \mathbb{C^n}$
Un $I$ inclus dans $\llbracket 1~;~ n \rrbracket$ incorporant au moins un truc, mais surtout validant l’inouï attribut consistant au fait qu’on ait : $$\Big|\sum_{i \in I} z_i \Big| \ge \frac{1}{4\sqrt{2}} \sum_{i=1}^n |z_i|$$ a-t-il toujours cours ?
2. Y a-t-il plus fort ?
PS. Avant 15h, vos solutions pour la 1. auront autorisation d’accourir !Je suis donc je pense -
Bravo, Quentino ! À coup sûr, nous pouvons...
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J'ai la comparaison mais pour un multiplicateur distinct, pas $\dfrac{1}{4\sqrt 2}$ !
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Je ne comprends même pas le sens de ces deux questions. Qui peut éclairer ma lampe?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Étant donnée une liste de $n$ complexes, tu dois chercher à montrer qu'il existe une partie non vide de $[1,n]$ telle que....Puis améliorer la constante dans la deuxième question.
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@JLapin. Qu’as tu obtenu pour l’instant ?Je suis donc je pense
-
La solution doit aussi avoir l'obligation?
-
Je connais déjà l'exercice et je pense l'une des meilleures constantes possible : mais ce n'est très joli !
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Comme tu veux ! (Si tu as du temps à perdre, tu peux tenter.)Je suis donc je pense
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Merci JLapin , la question est devenue claire et une constante meilleure que celle de Q37 est $\frac 1{\pi}$
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Au lieu de $\sqrt2/8$, j'ai $\sqrt[-4]2/8$, mais sans rechercher de raffinement.
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$1/\pi$ est traité dans les FGN.
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Que sont les FGN ?Je suis donc je pense
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Francinou Gianella Nicolas ! Ed. Cassini
-
Après pas mal de tâtonnements, $1/\pi$ correspond à la configuration de points où $n=2^m$ et où les $z_i$ sont les racines de $X^{2^m}+1$ (limite $m\to \infty$), configuration qui semble "la pire possible" pour la somme de gauche. Donc si une telle constante existe, elle vaut au mieux $1/\pi$. Après, je ne vois pas du tout comment montrer que $1/\pi$ convient pour toutes les configurations.
Après je bloque. -
Y a-t-il une preuve pour la constante $\frac{1}{\pi}$ qui n'utilise pas $\int_{-\pi}^{\pi} \max(0, {\rm Re}(e^{i \theta} z)) d\theta = 2 |z|$ ?
-
Pas à ma connaissance.
-
Message édité pour une raison de clartéTu veux dire différente de
Soit $z_k = r_k e^{i\varphi_k}$, $k\in[n] = \{1, 2, \dots, n \}$ et pour $x\in [0,2\pi]$, $\displaystyle J_x=\{ k \in [n], 0\leq x +\varphi_k\leq \pi \}$
\begin{align*}
\max_{I\subseteq [n]}\bigg|\sum_{k\in I}z_k \bigg| &\ge
\max_{x\in [0, 2\pi]} \left|\sum_{ k\in J_x }z_k \right|
\\&= \max_{x\in [0, 2\pi]} \left|\sum_{ k\in J_x }z_k e^{ix} \right|
\\& = \max_{x\in [0, 2\pi]} \left| \sum_{ k=1}^n z_ke^{ix}1_{[0, \pi]} (x+\varphi_k)\right|
\\& \geq \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} \left|\sum_{ k=1}^n r_ke^{i(\varphi_k+x)}1_{[0, \pi]} (x+\varphi_k)\right| \,dx
\\&
\\& \geq \sum_{k=1}^n \frac{r_k}{2\pi}\int_{0\le \varphi_k + x\le \pi} \sin(\varphi_k + x)\,dx
\\& = \sum_{k=1}^n \frac{r_k}{\pi}
\\& = \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^n |z_k|
\end{align*}
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
@G-brane Comment justifies-tu la toute première inégalité ?
Après je bloque.
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Bonjour!
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