Calendrier de L’Avent II

Bonjour à tous, et à toute
À l’instar du calendrier de l’avent de l’année dernière, il se devait d’en refaire un nouveau cette année. Il est un peu tard, mais vaut mieux tard que jamais !
Déroulement.
Chaque jour, du 1er décembre au 31 décembre, un joli problème de mathématiques sera proposé par un volontaire avant 10h. Vous pourrez envoyer vos solutions complètes ou partielles à partir de 15h, (pour laisser tout les participants réfléchir, au moins le midi).
Restriction.
Il ne doit pas figurer la lettre e dans vos énoncés. (Vous pourrez demander à Anton Voyl la raison de cela)
Ici figurera la liste des volontaires et des dates attribuées :

1 : bd2017
2 : Quentino37
3 : bd2017
4 : MrJ
5 : john_john
6 : Boécien
7 : Namiswan
8 : bd2017
9 : gebrane
10 : JLapin
11 : MrJ
12 : john_john
13 : john_john
14 : Namiswan
15 : Boécien
16 : john_john
17 : Magnéthorax
18 : MrJ
19 : john_john
20 : john_john
21 : Namiswan
22 : john_john
23 : MrJ
24 :
25 : Ericpaslogue
26 :
27 :
28 : Namiswan
29 :
30 : Syntaxe_error
31 :

Contactez moi en messages privée pour être rajouté, en se proposant pour une date, correspondant à la difficulté du problème ! (En envoyant le problème, au cas où il y a des doublons).
Résumé de l’année dernière ci joint : 
https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2332399/calendrier-de-l-avent/p1
Je suis donc je pense 
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Réponses

  • La lettre e désigne le nombre $e$, ou littéralement la lettre est interdite dans les mots en français ? Si c'est la dernière chose, je préfère m'abstenir.
  • Vu la référence à Anton Voyl, je crains que ce ne soit effectivement la dernière chose...
  • john_john
    Modifié (November 2023)
    Bonjour, Quntino,
    j vux bin, comm l'an drnir, participr au calndrir de l'Avnt ; avant qu j propos ds dats, dis-moi si nous nous limitons à Analys/Proba/Arithmtiqu ou si l'Algbr st aussi la binvnu.
    Cordialmnt, j__j
  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    En mode AD cela donne sauf erreur "Je veux bien, comme l'an dernier, participer au calendrier de l'Avent. Avant que je propose des dates, dis-moi si nous nous limitons à l'Analyse/Probabilité/Arithmétique ou si l'Algèbre est aussi la bienvenue"
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • J'suis trop nul pour ça. Six mots sont durs alors un roman...
  • Cela dit, j'accepte de tenter des énoncés sans 'e' ; j'éviterai de ce fait la notion de non-dégénérescence.
  • Bonjour,

    t ou st l'intrt ?

    Cordialmnt,
    Rcassol

  • L'intérêt : peut-être fêter l'anniversaire de La disparition ? Je devais être en Terminale à l'époque.
  • @john_john L'algèbre est la bienvenue :)
    Je suis donc je pense 
  • john_john
    Modifié (November 2023)
    Alors, je propose les mardis 5, 12 et 19 et il y aura de tout :)
  • Et, pour ceux qui reculent devant un énoncé sous contrainte : au lieu de Calculer, écrire Calculons ; au lieu de Existe-t-il, écrire Avons-nous. Perec s'est imposé des contraintes cent fois plus difficiles, que diantre !


    Chanson

    par un fils adoptif du Commandant Aupick

    Sois soumis, mon chagrin, puis dans ton coin sois sourd
    Tu la voulais la nuit, la voilà, la voici
    Un air tout obscurci a chu sur nos faubourgs
    Ici portant la paix, là‑bas donnant souci.

    Tandis qu'un vil magma d'humains, oh, trop banals,
    Sous l'aiguillon Plaisir, guillotin sans amour,
    Va puisant son poison aux puants carnavals,
    Mon chagrin, saisis‑moi la main ; là, pour toujours

    Loin d'ici. Vois s'offrir sur un balcon d'oubli,
    Aux habits pourrissants, nos ans qui sont partis ;
    Surgir du fond marin un guignon souriant ;

    Apollon moribond s'assoupir sous un arc
    Puis ainsi qu'un drap noir traînant au clair ponant
    Ouïs, Amour, ouïs la Nuit qui sourd du parc.
  • JLapin
    Modifié (November 2023)
    En mode AD
    @gebrane   Tu n'as pas mis les e en gras :)
  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    JLapin,  tu vois,  là encore,  une fois de plus le tour de  faiblisse de gebrane, Il était  incapable de mettre du gras sur les quelques e  du texte de Jhon alors que Le tour de force de Perec est de s’être abstenu  dans un roman de plus de 300 pages,  d’employer le e, la lettre la plus utilisée de la langue française.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Namiswan
    Modifié (November 2023)
    Hello,
    j'ai crû que l'idée avait été abandonnée ;)
    Tu peux me bloquer 3 ou 4 dates, disons 7,14,21,28, j'échangerai ou donnerai des dates si nécessaire.
    Pour l'histoire du e...bon je ne promets rien.
  • bd2017
    Modifié (December 2023)
    Bonjour

    Exercice  du jour 1. 

     Trouver tous les couples  d'entiers satisfaisant l'équation
    $$ (x^2 + 1)(y^2 + 1)+2 (x - y)(1 - x y) = 4(1+ x y).$$
    P.S exercice peut-être un peu "light"  mais c'est le premier jour.
     
  • Mais il y a des e dans l'énoncé !
  • john_john
    Modifié (December 2023)
    Fouillons dans $\N\times\N$ ; là gît $(x,\,y)$ satisfaisant à $(x^2+1)(y^2+1)+2(x-y)(1-xy)=4(1+xy)$.

  • Prd krt skrz drn, zprv zhlt hrst zrn ; cette phrase en langue tchèque eût ravi Perec.
  • i.zitoussi
    Modifié (December 2023)
    Nouveau challenge alors : formuler les questions et les réponses en tchèque, sans utiliser la lettre "r".
    Après je bloque.
  • Ah ben non  >:) c'est le 'r' (ou le 'l') qui sert de voyelle.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2023)
    Tu peux me noter les lundis 4, 11 et 18.
  • Bonjour,

    Cordialement,
    Rescassol

  • C'est même 15h pour l'envoi des solutions ;)
  • J'ai cru 10h je supprime le mien
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Je ne vois pas l’intérêt de ne pas poster sa solution avant 15H00 : il suffit de la cacher avec la balise "Révéler".
  • Je suis favorable à cette petite contrainte imposée par Quentino37 pour éviter les tentations de cliquer sur la balise :)
  • Je veux bien m'occuper du jour 3.
  • Ok ! Ça marche ! 
    Je suis donc je pense 
  • gebrane
    Modifié (December 2023)
    @JLapin. Je pense que tu n'as [pas] résisté à cliquer sur ma balise. As-tu trouvé quelque chose de bon 🤣
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • L'équation se résout en $y$, sous la forme $y=1+\displaystyle\frac{\pm2}{|x+1|}$ ; on n'aura des entiers que ssi $x\in\{-3,-2,0,1\}$.

  • Bonjour,

    L'équation se factorise en $((x+1)(y-1)-2)((x+1)(y-1)+2)=0$, réunion de deux hyperboles équilatères.
    Et $2$ n'a pas beaucoup de diviseurs.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Quentino37
    Modifié (December 2023)

    Jour 2.

    1. Posons $n \in \mathbb{N^*}$. Soit $(z_1,\dots,z_n) \in \mathbb{C^n}$
    Un $I$ inclus dans $\llbracket 1~;~ n \rrbracket$ incorporant au moins un truc, mais surtout validant l’inouï attribut consistant au fait qu’on ait : $$\Big|\sum_{i \in I} z_i \Big| \ge \frac{1}{4\sqrt{2}} \sum_{i=1}^n |z_i|$$ a-t-il toujours cours ?

    2. Y a-t-il plus fort ?

    PS. Avant 15h, vos solutions pour la 1. auront autorisation d’accourir !
    Je suis donc je pense 
  • Bravo, Quentino ! À coup sûr, nous pouvons...
  • J'ai la comparaison mais pour un multiplicateur distinct, pas $\dfrac{1}{4\sqrt 2}$ !
  • Je ne comprends même pas le sens de ces deux questions. Qui peut éclairer ma lampe?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Étant donnée une liste de $n$ complexes, tu dois chercher à montrer qu'il existe une partie non vide de $[1,n]$ telle que....
    Puis améliorer la constante dans la deuxième question.
  • Quentino37
    Modifié (December 2023)
    @JLapin. Qu’as tu obtenu pour l’instant ?
    Je suis donc je pense 
  • La solution doit aussi avoir l'obligation?
  • JLapin
    Modifié (December 2023)
    Je connais déjà l'exercice et je pense l'une des meilleures constantes possible : mais ce n'est très joli !
  • Quentino37
    Modifié (December 2023)
    Comme tu veux ! (Si tu as du temps à perdre, tu peux tenter.)
    Je suis donc je pense 
  • gebrane
    Modifié (December 2023)
    Merci JLapin , la question est devenue claire et une constante meilleure que celle de Q37 est $\frac 1{\pi}$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • john_john
    Modifié (December 2023)
    Au lieu de $\sqrt2/8$, j'ai $\sqrt[-4]2/8$, mais sans rechercher de raffinement.
  • john_john
    Modifié (December 2023)
    $1/\pi$ est traité dans les FGN.
  • Que sont les FGN ?
    Je suis donc je pense 
  • Francinou Gianella Nicolas ! Ed. Cassini
  • Après pas mal de tâtonnements, $1/\pi$ correspond à la configuration de points où $n=2^m$ et où les $z_i$ sont les racines de $X^{2^m}+1$ (limite $m\to \infty$), configuration qui semble "la pire possible" pour la somme de gauche. Donc si une telle constante existe, elle vaut au mieux $1/\pi$. Après, je ne vois pas du tout comment montrer que $1/\pi$ convient pour toutes les configurations.
    Après je bloque.
  • Y a-t-il une preuve pour la constante $\frac{1}{\pi}$ qui n'utilise pas $\int_{-\pi}^{\pi} \max(0, {\rm Re}(e^{i \theta} z)) d\theta = 2 |z|$ ?
  • Pas à ma connaissance.
  • gebrane
    Modifié (December 2023)
    Message édité pour une raison de clarté
    Tu veux dire différente de :smile:

    Soit $z_k = r_k e^{i\varphi_k}$, $k\in[n] = \{1, 2, \dots, n \}$ et pour $x\in [0,2\pi]$, $\displaystyle   J_x=\{ k \in [n], 0\leq x +\varphi_k\leq \pi \}$
    \begin{align*}
    \max_{I\subseteq [n]}\bigg|\sum_{k\in I}z_k \bigg| &\ge
     \max_{x\in [0, 2\pi]} \left|\sum_{  k\in J_x }z_k \right|
    \\&= \max_{x\in [0, 2\pi]} \left|\sum_{  k\in J_x }z_k e^{ix} \right|
    \\& = \max_{x\in [0, 2\pi]}  \left| \sum_{  k=1}^n z_ke^{ix}1_{[0, \pi]} (x+\varphi_k)\right|
    \\&  \geq \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} \left|\sum_{  k=1}^n r_ke^{i(\varphi_k+x)}1_{[0, \pi]} (x+\varphi_k)\right| \,dx
    \\&
    \\& \geq  \sum_{k=1}^n \frac{r_k}{2\pi}\int_{0\le \varphi_k + x\le \pi} \sin(\varphi_k + x)\,dx
    \\& = \sum_{k=1}^n \frac{r_k}{\pi}
    \\& = \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^n |z_k|
    \end{align*}


    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @G-brane Comment justifies-tu la toute première inégalité ?
    Après je bloque.
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