Équation diophantienne $X_1^2+X_2^2=Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Équation diophantienne $X_1^2+X_2^2=Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2$

Modifié (November 2023) dans Arithmétique
Bonjour
Je cherche à savoir s'il existe une solution générale pour chacune de ces deux équations et si oui, y a-t-il une référence, un article, une démonstration ?
$X_1^2+X_2^2=Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2$
Et
$X_1^2+2 X_2^2=Y_1^2+Y_2^2+2 Y_3^2$
Merci.
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Réponses

  • salut

    $x^2 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2 \iff x^2 + y^2 + 0^2 = a^2 + b^2 + c^2 $

    donc il suffit de prendre $(x, y, 0) = (a, b, c)$

    $x^2 + 2y^2 = a^2 + b^2 + 2c^2 \iff x^2 + y^2 + 0^2 = a^2 + b^2 + c^2 $

    donc il suffit de prendre $(x, y, 0) = (a, c, b)$

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Modifié (November 2023)
    Merci
    Cependant, je souhaiterais des solutions sans avoir de valeurs nulles. J'aurais dû préciser.
    En effet, avec des zéros, il existe des solutions génériques avec
    $X^2=Y^2+Z^2$ et avec  $X^2=Y^2+Z^2+W^2$.
  • Modifié (November 2023)
    Les entiers sommes de deux carrés sont les entiers tels que leurs diviseurs premiers congrus à $3$ mod $4$ ont une valuation paire.
    Les entiers sommes de trois carrés sont les entiers qui ne sont pas de la forme $4^km$ avec $m$ congru à $7$ modulo $8$.
    On peut construire tout un tas de solutions en combinant ces deux faits.
  • Une solution particulière à la première équation : $10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$.
  • Merci
    Mais je recherche une solution générique et pas particulière, si elle existe, ce qui n'est pas sûr.
  • Toutes les solutions peuvent être trouvées algorithmiquement à partir de mon message précédent. Par contre, ça ne donne pas de paramétrisation des solutions.
  • Modifié (November 2023)
    une autre solution u = (x, y, a, b, c) = (3, 0, 5, 1, 1)
    ensuite remarquer qu'on peut travailler dans N du fait des carrés
    et que su u est solution alors ku est solution et qu'on peut permuter bien évidemment certaines coordonnées (x et y) ou (a, b et c)
    donc il suffit de trouver les solutions "primitives"

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Merci
    Avec une ou plusieurs variables (x,y,a,b,c) à zéro, il existe déjà des solutions génériques et donc paramétriques (Voir les triplets pythagoriciens et la solution de Catalan pour un carré égal à la somme de trois carrés).
    Je vais essayer de trouver des solutions paramétriques particulières et non génériques.
  • Modifié (9 Jan)
    Bonjour @francoiswolf
    voici une méthode pour construire des solutions.
    Tu pars de l'identité connue $$(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=(a^2-b^2-c^2-d^2)^2+(2ab)^2+(2ac)^2+(2ad)^2$$ et tu remplaces $d$ par $id$ ce qui permet de passer le dernier carré à gauche.
  • Modifié (10 Jan)
    Bonjour
    Si vous décomposez un oblong k(k+1) en produit de deux facteurs de même parité a et b, ie k(k+1)=ab, votre équation admettra une famille paramétrique de solutions :
    X1=a+b-k-1 ; X2=a+b-k ; Y1=a ; Y2=b ; Y3=a+b-2k-1 .
    Par exemple pour l'oblong 20=4.5=2.10 ,on obtient : k=4 ; a=2 ; b=10 ; X1=7 ; X2=8 ; Y1=2 ; Y2 = 10 ; Y3 = 3 ; et on  bien: 7^2 + 8^2 = 2^2 + 10^2 + 3^2

    Ce n'est pas une solution paramétrique générale.
    Bonne année quand même !
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