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Le bon énoncé pour le théorème des gendarmes

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Réponses

  • Modifié (November 2023)
    @zygomathique, tu n'as pas répondu à ma question sur ta version du théorème des gendarmes.

    @Jlapin, tu veux un contre-exemple ? Soit $g(x)=-x^2$. Alors, le théorème de la composition sur $H \circ g$ tombe en défaut pour les limites à gauche si tu supposes que $\lim_{{0^-}} H(x)=0$. Cela te convainc-il ?
    Le 😄 Farceur


  • je ne vois pas où est le pb : $H(-x^2) = 0$ pour tout réel x non nul et H(0) = 1

    et $ \lim_{x \to 0} H(-x^2) = 0$

    et je n'écris certainement pas $ \lim_{x \to 0} H(-x^2) = H(0)$

    pour mes théorèmes : 

     



    et on peut aisément remplacer l'intervalle |truc, +oo[ par |truc, b[ ainsi que ]-oo, truc| par ]a, truc|

    et pour l'adaptation on remplace "x assez grand" par "x voisin de a" ou encore |x - a| < e


    PS : je précise oralement ce que j'entends par voisin

    ainsi je dis que 1 est voisin de 0 ... mais bon 1000 est aussi voisin de 0 !!  :D

    et surtout je fais des dessins au tableau

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Modifié (November 2023)
    @zygomathique Ton énoncé est vague, et tu le fais exprès pour que je ne puisse pas te critiquer. :smiley: Donne moi ce théorème pour une limite en $a^+$
    Pour le contre-exemple que j'ai donné à JLapin, ce n'est pas valide, et tu as raison de le dire.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    @gebrane : j'ai beau lire ton explication avec ta fonction discontinue en 0 et encadrée par deux applications continues sur $]0;+\infty[$ et de limite à droite égale à 1 en 0, je ne vois aucun problème: à savoir que si on définit la notion de limite à droite, alors ta fonction a une limite à droite égale à 1, quel est le problème ?
    J'ai donné une définition de limite en un point de $I$. J'ai donné un théorème juste des gendarmes. Où vois-tu un souci ?
    J'aurais pu donner une définition de limite à droite de la même manière, et une version des gendarmes qui concluent que la limite à droite est 1.
  • Modifié (November 2023)
    Trois cas   . Je voulais réfléchir comme un élève. Ton théorème est clair et bien formulé.
    **Proposition ** Soient $f, g, h$ trois fonctions réelles définies sur l'intervalle $I=]a,b[$ et $\ell$ un réel. Si, sur $I$, $f \leq g \leq h$, et $f(x) \xrightarrow[x \to a^+]{} \ell$ ainsi que $h(x) \xrightarrow[x \to a^+]{} \ell$, alors $g(x) \xrightarrow[x \to a^+]{} \ell$.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Je laisse reposer ce fil en exprimant ma déception que personne (à part zygomath) ne veut confirmer ou infirmer les dires Jlapin   edit correction du lien  https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2455152/#Comment_2455152
    J'ai retrouvé le document de Daniel Perrin et justement il déconseille de changer d’âne au milieu du gué
    Le 😄 Farceur


  • Il n'y a toujours pas de problème Gebrane ... sauf comme le confirme D.Perrin, si l'on donne aux élèves des définitions incohérentes.
    Selon moi, si on définit la limite en un point de $I$ comme j'ai fait (avec les Gendarmes demandant l'inégalité sur $I$) alors aucun souci.
    Si on rajoute la notion de limite à droite (strictement) avec l'inégalité des Gendarmes sur l'ouvert sur sa borne de gauche, toujours pas de souci.
    Bref, ce qu'il faut retenir: si on donne des définitions incohérentes aux élèves, on amène des situations incohérentes (ou au mieux confuses). Mais ça, on pouvait s'en douter.
  • Modifié (November 2023)
    Merci @troisqua   pour ton intérêt, mais bizarrement il y a une erreur  sur le lien, je voulais cibler ce lien https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2455152/#Comment_2455152  où il dit Non, la notion de limite à droite/à gauche est la même chez les français et chez les anglo-saxons.
    Le 😄 Farceur


  • Oui c'est la même et donc où est le problème ?
  • Modifié (November 2023)
    Bonjour @troisqua  As-tu lu le document de Daniel Perrin ? Le problème, c'est qu'on a envie d'avoir un théoème qui dit  :
    f admet une limite en a ssi la fonction f admet en a,    une limite à droite et une limite à gauche, et qu'elles sont égales.

    Si on prend la définition de limite pointée en a et de limite épointée pour les limites à droite et à gauche en a , problème.
    Ce que je dis est très sérieux, il y a des étudiants qui nous lisent, il faut trancher.

    Si gebrane  a tort pourquoi pas !
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    il y a des étudiants qui nous lisent,

    Aux étudiants qui nous lisent : si vous voulez une bonne note à votre partiel d'analyse, suivez la définition que votre professeur a donnée.


  • Le 😄 Farceur


  • Tu dis "on a envie d'avoir un théorème qui dit que ...." et moi je n'ai pas envie d'avoir un théorème qui dit ça car c'est casse gueule (cette discussion le montre). Ce théorème que tu souhaites n'a pas d'utilité à part se planter.
  • Bonjour @troisqua, j'ai regardé des cours en ligne de CPGE et effectivement, tous adoptent les limites épointées pour la limite à gauche et à droite. Mais, si un étudiant averti pose cette question en plein cours, Monsieur, peut-il exister une fonction qui admet une limite en un point a sans admettre une limite à droite et à gauche en a?  réponse ?
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2023)
    Quelles sont les définitions utilisées par ton étudiant fictif ? Peux-tu les écrire précisément s'il te plaît ?
    Moi je donne, "pointée en a", et épointées en $a^+$ et $a^-$ et je parle de limite à droite et limite à gauche.
    Donc si ton étudiant est un de mes étudiants, je lui répondrai : si une fonction $f$ définie sur intervalle ouvert $I$ contenant $a$, alors "admettre une limite en $a$ implique en avoir une en $a^+$ et $a^-$".
  • Modifié (December 2023)
    Bonjour @troisqua  Tu as bien répondu et tu as évité le piège d'un point isolé :smiley:
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2023)
    Si tu es partant, @troisqua, continuons cette aventure  pour éviter les plantages, c'est très important pour celui qui a comme vocation d'enseigner. J'ai appris dans ce fil que les limites à droite et à gauche sont prises au sens épointé en CPGE de France . Dans ce cas, comment écrire le théorème de la composition pour une limite, par exemple à droite, sans se planter ? Je tente ceci.

    Soit $a \in \mathbb{R}$
    1) Si $\lim_{x\to a^+} g(x) = l \in D_f$ et $f$ continue en $l$, alors $\lim_{{x\to  a^+}} f(g(x)) = f(l)$.
    2) Si $\lim_{{x\to  a^+}} g(x) = l \notin D_f$ et $\lim_{x\to  l} f(x) = L$, alors $\lim_{{ a^+}} f(g(x)) = L$.

    Qu'en penses-tu ? Peut-on simplifier cet énoncé ?
    Le 😄 Farceur


  • Il suffit d'introduire les notations $\lim\limits_{x\to a, x > a} f(x)$ (limite à droite épointée) et $\lim\limits_{x\to a, x \geq a} f(x)$ (limite à droite pointée) pour ne plus susciter de confusion.

    Tout ça nous inciterait quand même (du moins en CPGE/L1) à introduire directement la notion de limite restreinte à un sous-ensemble $A$ du domaine de définition : $\lim\limits_{x\to a, x \in A} f(x).$ Selon le $A$ qui est choisi, on récupère toutes les notions de limite abordées dans ce fil.
  • Je cite le théorème « qu’on veut » :
     f admet une limite en a ssi la fonction f admet en a,    une limite à droite et une limite à gauche, et qu'elles sont égales. 

    Un bon exercice : selon les deux notions limite pointée/épointée et selon les deux limites pointés/épointée à gauche et à droite, ça donne quatre théorèmes. L’exercice est de savoir les énoncer sans redondance. À celui qui souhaite s’y coller 😀
  • Ou alors on synthétise directement ça en disant que si $A = B \cup C$ alors $\lim\limits_{x\to a, x \in A} f(x)$ existe si et seulement si $\lim\limits_{x\to a, x \in B} f(x)$ et $\lim\limits_{x\to a, x \in C} f(x)$ existent et sont égales. En plus ce théorème est vraiment trivial à prouver.
  • L’ambiguïté est aussitôt levée quand on écrit les ensembles sous $\lim\limits$. C’est certes un peu lourd mais tellement fluide ! On peut se permettre une abréviation de l’ensemble avec les symboles $\neq$ et les quatre symboles liés à l’ordre. 
  • Personne ne veut critiquer mon théorème de la composé pour une limite à droite ? 😁
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2023)
    Bonjour,

  • Modifié (December 2023)
    I)Une base de filtre est un ensemble non vide d'ensembles $\mathcal B$ de $E$ tel que
    (i) $\emptyset \notin \mathcal B$
    (ii) pour tous $K,L\in \mathcal B$, il existe $M\in \mathcal B$ tel que $M \subseteq K \cap L$.
    Étant donné un ensemble $E$, une base de filtre sur $E$ est une base de filtre dont tous les éléments sont contenus dans $E$.
    II) Avant d'aller plus loin citons quelques exemples de bases de filtres:
    1°) $\mathcal V_{\N,\infty}:= \{\{k\in \N \mid k \geq p\} \mid p \in \N\}$
    2°) pour tout $t\in \R$, $\mathcal V_t:= \{]t-\varepsilon, t+\varepsilon[ \mid \varepsilon \in ]0,+\infty[\}$
    3°) $\mathcal V_{+\infty}:= \{[A,+\infty[ \mid A\in \R\}$
    3° bis) $\mathcal V_{-\infty}:= \{]-\infty, A] \mid A\in \R\}$
    NB : les éléments de $\mathcal V_{\N,\infty}$ sont exactement les intersections de $\N$ (vu comme partie de $\R$) et d'éléments de $\mathcal V_{+\infty}$
    III) Ci-dessous on désigne par "fonction numérique" une fonction dont l'image est contenue dans $\R$.
    Soient $E$ un ensemble, $f$ une fonction numérique définie sur $E$ et $\mathcal B$ une base de filtre sur $E$. Soit $\mathcal \alpha \in \R \cup \{-\infty, +\infty\}$. On dit que "$f$ converge vers $\alpha$ suivant $\mathcal B$" si pour tout $T \in \mathcal V_{\alpha}$, il existe $S\in \mathcal B$ tel que $f(S) \subseteq T$ (c'est-à-dire: pour tout $x\in S$, $f(x) \in T$).
    IV) Dans le cas de fonctions numériques les limites pointées/épointées/à gauche/ à droite et j'en passe de même que les limites de suites sont toutes des cas particuliers de ce qui précède. L'enseignement courant préfère ne pas parler de base de filtre et présente donc ces notions à travers une demi-douzaine (ou plus) de cas différents de définition de convergence et de limite. Le lecteur se fera sa propre opinion.
    V) La bagarre sur s'il faut l'épointage ou non est un peu un détail, il faut surtout que les gens se mettent d'accord. Votre serviteur préfère le pointage (qui est en fait plus souple; il y a une discussion sur le phorum dont j'ai perdu le lien et qui est HS concernant le sujet de "théorème des gendarmes" abordé ici).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Modifié (December 2023)
    Le scan ci-dessus appartient à "l'enseignement courant" : c'est l'extrait d'un poly de cours de MPI1, d'il y a quelques années ...
  • J’insiste : ce scan montre une vertu pédagogique à écrire sous le symbole $\lim\limits$ l’ensemble sur lequel on étudie la limite. 
  • @gebrane : critiquer des énoncés flous pendant plusieurs pages n'aurait d'intérêt que si les réponses à tes questions n'avaient pas déjà été fournies. En l'occurrence, nous sommes plusieurs à t'avoir donné des théorèmes et notations grâce auxquels il n'y a aucun problème. Au lieu d'adopter ces notations, tu reprends les tiennes qui ne contiennent pas suffisamment d'information pour lever d'éventuelles ambiguïtés. Donc tu tournes en rond.
  • Modifié (December 2023)
    Bonjour @GaBuZoMeu peux-tu me communier ce polycopié ?
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2023)
    Troiqua les questions ne viennent  pas toutes de moi  :smile:
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2023)
     Elle m'a donné ce lien https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathsup/cours/limitecontinuite.html. Sur ce site, les rédacteurs aiment le théorème contesté par @troisqua
    Proposition. Soit $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ et $a$ un point à l'intérieur de $I$. Alors, $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si $f$ admet une limite à droite et une limite à gauche en $a$, 
    On constate que  leurs limites à gauche et à droite sont au sens pointé.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2023)
    @gebrane : Il me semble qu'avec les hypothèses que tu poses, tout ce que l'on peut déduire, et tu le sais déjà, c'est qu'en notant $\ell$ la limite commune à $g\,\,$ et $h\,\,$ en $x_0\,$, on a : $$  \lim_{x\rightarrow x_0 \, \wedge \, x\neq x_0} f \, = \, \ell $$
    En particulier, et tu le sais encore, on ne peut rien dire de $f(x_0)$, sinon qu'une forte envie démange de remplacer $f\,$ par la version régularisée $\tilde{f}\,$, définie comme étant partout sur $D_f$ égale à $f\,\,$, sauf en $x_0$ où l'on prend $\tilde{f}(x_0) = \ell\,$. 
    Après quoi "dans la suite du problème, par un abus de notation sans conséquence, on notera $f\,$ la fonction $\tilde{f}\,$". 
    Bien sûr il faut que l'abus soit par la suite réellement sans conséquence. Si au départ la fonction $f\,\,$ est la fonction nulle partout sauf en $0\,\,$ où elle vaut $1\,\,$, et que par la suite on s'intéresse au domaine de définition de l'inverse de la dérivée seconde de la fonction $a\,\,$ définie par $a(x) = \sin(\lvert D_{\frac{1}{f}} \rvert.x)\,$, l'abus n'est pas "sans conséquence". 
    Donc, tout dépend de l'écriture précise, et donc de la notion précise, de la limite de $f\,\,$ en $x_0\,$ dont on parle : s'agit-il de $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0 \, \wedge \, x\neq x_0} f\,$ ou de $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f\,$ ? Sans cette précision, la question relative la "limite de $f\,\,$ en $x_0\,$" est ambigüe, et donc à l'origine de paradoxes et contradictions.
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