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Le bon énoncé pour le théorème des gendarmes

Modifié (November 2023) dans Analyse
Bonjour
À la suite d'une discussion avec une prof de maths, sur quel énoncé doit-on transmettre aux élèves ou étudiants pour le théorème des gendarmes (cas de limites finies). Je trouve l'énoncé ci-dessous est faux et vous ?
Énoncé. Soit $I$ est un intervalle, $x_0$ est un point de $I$ ou une extrémité de $I$ (éventuellement infinie). $f$, $g$, $h$ sont trois fonctions définies   sur $I$ dans $\mathbb{R}$. On suppose : 
1- $\forall x \in I \setminus \{x_0\}, \ h(x) \leq f(x) \leq g(x)$. 
2- $\lim_{{x \to x_0}} h(x) = l$,  et $\lim_{{x \to x_0}} g(x) = l$.
Alors  $\lim_{{x \to x_0}} f(x) = l$.
Le 😄 Farceur


«1

Réponses

  • Cela s'appelle le théorème des gendarmes, et ça n'a rien à voir avec la règle de l'Hôpital. 

    Par ailleurs, cet énoncé est effectivement faux en l'état.
  • Chalk, J'avais la tête ailleurs mais la question est sérieuse
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Je crois avoir répondu sérieusement.

    Évidemment, ce fil risque fort de dégénérer sur un marronnier habituel du forum quant aux limites épointées ou non ... C'est comme au bistrot, le sujet a été discuté 50 fois en des dizaines de pages (si ce n'est des centaines), mais ça va repartir comme d'un rien.
  • Dans ce cas  Chalk , quel énoncé correct proposes-tu ? Ce n'est pas parce qu'un fait se répète sans cesse qu'on va l'ignorer
    Le 😄 Farceur


  • Eh, oui, déjà qu'on ne sait pas si une fonction est un ensemble de couples ou non, si $(x,y) = \{x, \{x,y\}\}$ ou non, si en plus on parle de limites épointées...
  • Modifié (November 2023)
    Gebrane, je ne te réponds pas. J'ai beaucoup d'estime pour toi, mais tu sais très bien quelle est la définition de limite donnée en France, et en quoi cela induit un énoncé différent. Tu as d'ailleurs toi-même dit que tu trouvais l'énoncé faux.

    Cela ne m'intéresse pas de débattre sur quelque chose où tout le monde sait très bien de quoi on parle en jouant sur les définitions. Si le but est de générer des pages inutiles de discussions entre connaisseurs, il y a déjà le fil sur l'enseignement des fonctions.
  • Modifié (November 2023)
    Georges Abitbol, je pense qu'il faut abolir en France la définition d'une limite au sens pointé, car en cours de route on change de définition sans le savoir. J'ai découvert ce genre de changement de définition, par exemple, lorsque un étudiant veut calculer une limite d'une fonction à deux variables en (0,0) par le théorème des gendarmes.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    @gebrane :  il faut choisir ce que signifie "lim". Pour chaque choix, tu auras une réponse différente à ta question.
    Toi qui disais qu'il te manquait la notion de filtre (donc de base de filtre), ici il faut savoir si ton "lim" est définie en utilisant la base de filtre constituée des boules centrées en $x_0$, ou bien en utilisant celle des boules centrées en $x_0$ privées de $x_0$.
    En quelque sorte, chaque choix de base de filtre donne une notion de limite différente. C'est donc bien une question de choix et il n'y en a pas un meilleur que l'autre.
  • Modifié (November 2023)
    Chalk, je ne comprends pas ta réaction et cet énervement non fondé. Si tu sais, les autres ne savent peut-être pas. J'avais cru que le seul problème était dans la composition avec ces deux notions. Y a-t-il d'autres surprises ?
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Mais @ troisqua  ce théorème, on le donne à un niveau bas (aux lycéens), quand même,  il faut leur donner un énoncé correct, n'est-ce pas  ?
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Il n'y a pas d'énoncé correct ou faux tant qu'on n'a pas explicité le choix qu'on a fait pour l'expression "lim". C'est ce que te dit Chalk.
  • On tourne en rond  trois cas. Imagine-toi un instant que tu es prof au lycée, tu as le devoir d'énoncer ce théorème. Tu procède comment ?
    Le 😄 Farceur


  • Je donne une définition de ce que je note "lim" puis un énoncé qui fonctionne avec cette définition. Ton souci c'est de ne pas dire explicitement ce que signifie "lim". Une fois que tu l'auras fait, il sera facile d'adapter un énoncé correct "des gendarmes".
  • Modifié (November 2023)
    Trois cas   Sous-entendu, la 'lim' est la définition choisie par les pédagogues francais  pour être enseignée en France, c'est-à-dire la limite pointée (je parle de bas niveau avant la licence)
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Tu peux la rappeler s'il te plaît cette définition ? Quand tu l'auras fait, il sera très facile de répondre à ta question. Tant que tu ne le feras pas, tout sera flou.
  • En terminale, on donne cette définition « on dit que la fonction $f$ a pour limite $\ell \in \mathbb R$ en $x_0$ quand tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $x_0$ (sous-entendu les $x$ dans le domaine de définition de $f$) ». 

    Il s'agit donc de la définition pointée de la limite. Ton énoncé est faux en l'état, pour le corriger, tu peux considérer des fonctions $f,g,h$ définies sur $I\setminus \{x_0\}$. :)
  • Modifié (November 2023)
    Avec plaisir trois cas  . Certains professeurs au lycée osent encore donner cette définition avec les $\varepsilon$. On dit que $l \in \mathbb{R}$ est la limite de $f$ en $x_0$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall x \in D_f , ( |x - x_0| < \eta \implies |f(x) - l| \leq \varepsilon)$.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Quand j'étais lycéen ou étudiant, on avait une certaine définition de la limite, et avec cette définition de limite, cet énoncé est effectivement faux.
    Je pourrais expliquer la définition de limite que j'ai apprise, etc etc et dire pourquoi cet énoncé est incompatible avec tout ça.

    Mais Gebrane, si tu considères que cet énoncé est faux, c'est à toi de rappeler les définitions que tu utilises, et de dire pourquoi il y a incohérence, puis ensuite, tu peux demander si tes définitions sont bonnes ou pas.

    Dire 'cet énoncé est faux', sans proposer une correction ou une explication, ça me fait penser aux utilisateurs qui envoient un mail à la hot line pour dire : ça ne marche pas... et voilà, débrouille toi pour corriger avec ce diagnostic ! 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (November 2023)
    Une question SkyMtn Quand  on dit que $f$ est définie sur $I$  cela signifie que $I$ est dans $D_f$ n'est ce pas ? 
    par exemple on dit que $x\mapsto \sin x$ est définie sur $[0,1] $.
    Le 😄 Farceur


  • Selon la définition de la limite (pointée ou épointée), cet énoncé est soit vrai soit faux. Il n'y a rien de plus à en dire. Il suffit de choisir quelle définition on utilise pour régler le problème.
  • Modifié (November 2023)
    'Héhé, avec la définition pointée, donne-moi un bon énoncé du théorème des gendarmes qu'on peut enseigner aux élèves au lycée. 
    La question est aussi simple du fil, non ? 
    Cette question, comme j'ai dit, fait suite à une discussion avec une prof. Par exemple, les élèves disent : "Pour tout $x$ différent de $0$, on a $0 \leq f(x) \leq |x|$." Alors, ils concluent que la limite de $f$ est $0$.
    Le 😄 Farceur


  • Quand on dit qu'une fonction $f$ est définie sur un ensemble $E$, ça veut dire que $E$ est son domaine de définition. 
    La fonction $x\mapsto \sin x$ définie sur $[0,1]$ n'est pas la même que la fonction $x\mapsto \sin x$ définie sur $\mathbb R$ par exemple.
  • Modifié (November 2023)
    Isse je suis vraiment rouillé, je ne vois pas le souci.
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • @gebrane : Je pense que tu as très bien vu quel est le problème.
    Si la fonction $f$ est définie en $x_0$ et si on ne sait rien de plus sur ce qui se passe en $x_0$, la propriété est fausse.
    En revanche, si la fonction $f$ n'est pas définie en $x_0$, elle devient vraie.
  • Modifié (November 2023)
    bah oui @bisam et mon souci est de communiquer un énoncé rigoureux à la prof. Peux-tu partager ton énoncé de ce théorème ?'
    SkyMtn, avec ta suggestion ''tu peux considérer des fonctions f, g, h définies sur $I \setminus \{x_0\}$'', les élèves vont être confrontés à une difficulté , par exemple, si pour tout $x$ différent de $0$, on a $0 \leq f(x) \leq |x|$,  les fonctions nulles et valeur  absolue ne sont pas définies sur $\mathbb{R}^*$ (c'est sur $\R$) avec ce que tu viens de dire. 
    Peux-tu partager ton énoncé de ce théorème ?
    Le 😄 Farceur


  • Il suffit que les inégalités soient vraies également en $x_0$.
    La seule chose sur laquelle il faut insister est alors que ces inégalités soient valables sur tout l'intervalle où les fonctions sont définies.
  • @gebrane bah non, la fonction $g$ définie sur $\mathbb R^*$ par $g(x) = 0$ n'est pas la fonction nulle définie sur $\mathbb R$, et la fonction $h$ définie sur $\mathbb R^*$ par $h(x) = |x|$ n'est pas la fonction valeur absolue.

    Le domaine de définition d'une fonction fait partie de sa... définition.
  • Modifié (November 2023)
    @Gebrane : avec "ta" (?) définition, la fonction définie sur $[0;1]$ par $x\mapsto 0$ a pour limite $\pi$ en $x_0=7$.
    Prends une vraie définition (je veux dire une issue d'un ouvrage qui fait référence au Lycée, pas une que tu penses être celle enseignée) et après on pourra discuter.
  • Je ne comprends pas : dans la définition du premier message, il est précisé que le point où l'on prend la limite est un point ou une extrémité de l'intervalle où la fonction est définie.
  • Modifié (November 2023)
    Oui, Math Coss mais ça ne figure plus dans "sa" dernière définition. Du coup, j'aimerais avoir la version définitive. Il y a un juste un mystérieux "$D_f$" et on ne sait rien de $x_0$ par rapport à ce $D_f$ (ni si ça reste un intervalle).
  • Modifié (November 2023)
    la version du théorème dans mon premier  message est celle constatée par la prof.
    SkyMtn, on va perturber les élèves si on leur dit que le domaine de définition d'une fonction fait partie de sa... définition. C'est en supérieur qu'on définit une fonction par la donnée de son graphe, mais au lycée on donne $f$ et on demande $D_f$.
    Ok bisam
    Je dois m'absenter
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    @Gebrane, par exemple, de mon côté j'écrirais :
    Définition. Soient $f$ définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$,$x_{0}$ un point de $I$ et $\ell$ un réel. On écrit $f\left(x\right) \underset{x\to x_{0}}{\longrightarrow}\ell$ quand pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que pour tout réel $x$ de $I$, si $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ alors $\left|f\left(x\right)-\ell\right|<\varepsilon$.

    Proposition. Soient $f,g,h$ trois fonctions réelles définies sur l'intervalle $I$, $x_{0}\in I$ et $\ell$ un réel. Si, on a, sur $I$, $f\leqslant g\leqslant h$, $f\left(x\right)\underset{x\to x_{0}}{\longrightarrow}\ell$ et $h\left(x\right)\underset{x\to x_{0}}{\longrightarrow}\ell$ alors $g\left(x\right)\underset{x\to x_{0}}{\longrightarrow}\ell$.

  • Marcel Pagnol : "tu pointes ou tu épointes ?"
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • @troisqua : C’est quand même dommage de se priver du cas où $x_0$ est dans l’adhérence de $I$ dans $\overline{\mathbb R}$, c’est-à-dire le cadre fixé par le programme de Terminale.
  • Modifié (November 2023)
    Je n'ai pas dit que cette définition était exhaustive.
    Et personnellement, je traitais à part le cas où, par exemple $I=|a;x_0[$ et encore à part le cas où $I=|a;+\infty[$. On peut ensuite, faire deviner aux élèves les définitions quand $x_0$ est à gauche, ça ne leur fait pas de mal. Pour chaque cas, l'énoncé des Gendarmes s'adapte très facilement. La répétition étant l'amie de la pédagogie, je prône ce type d'approche (et n'empêche personne de faire différemment :) )
    On peut tout vouloir factoriser en une seule définition, ce qu'on peut faire une fois qu'on a compris les définitions précédentes, et même parler de limite suivant une base de filtre quand on est encore plus grand. Maintenant pour des élèves de Terminale, mon choix est vite fait.
    Sinon, @gai requin , tu parles du "cadre du programme", mais je ne vois rien qui ressemble de près ou de loin à ce que tu dis dans ce programme. Ce programme est un vaste flou.
  • Modifié (November 2023)
      il faut leur donner un énoncé correct, n'est-ce pas  ?

    Remplacer $I\setminus \{x_0\}$ par $I$ dans l'énoncé du message initial me semble convenir pour le cours du lycée, tout simplement.

  • DomDom
    Modifié (November 2023)
    Je n’aime pas ces énoncés généralisés. Par exemple, le $x_0$ pouvant être infini, c’est grotesque d’écrire $\mathbb R \setminus \{ +\infty \} $ de mon point de vue. Et c’est quoi d’ailleurs $+\infty $ ? Ce n’est pas du tout défini et ça n’a rien à voir avec « l’étude d’une limite en $+\infty$ ». 
    Ensuite, pourquoi dans le « 1. » dudit théorème on enlève ce $x_0$ ? Qu’est-ce que c’est que cet énoncé ? L’encadrement est universel, point. C’est faire exprès de créer une singularité pour s’amuser ensuite. 
    Quant à la notion de limite avec ses deux définitions non équivalentes, il me semble que la question se pose davantage sur les notions de limite à gauche et à droite (on épointe ou pas, dans ce vocabulaire gauche/droite ?). 
  • Pour un énoncé qui porterait sur une limite à droite, il suffit de remplacer $I$ par $I\cap ]x_0,+\infty[$, ce n'est pas plus compliqué que ça pour le coup de disposer d'un énoncé à la portée assez générale.
  • Du coup, la définition pour « limite » à droite est une définition épointée. Je ne sais pas s’il existe les mêmes divergences (pointé/épointé) que dans le cas des limites au sens général. 
  • C'est une affaire de niveau de classe, de goût. Personnellement, j'ai eu des terminales qui n'avaient pas le niveau de comprendre même la plus simple des définitions que j'ai données. Alors, rien que d'écrire $I\cap]x_0;+\infty[$ ça aurait déjà été des complaintes oshinesques pendant des heures :) Les expressions du type "ce n'est pas plus compliqué que ça", je les ai expérimentées à mes dépens ;)
  • 40 messages seulement en 4 heures ? Le forum faiblit ...
  • Modifié (November 2023)
    Je ne sais pas s’il existe les mêmes divergences (pointé/épointé) que dans le cas des limites au sens général. 

    Non, la notion de limite à droite/à gauche est la même chez les français et chez les anglo-saxons.

  • salut

    quand au lycée on étudie la limite en a (fini) d'une fonction définie sur un intervalle dy type ]a, +oo[ ou ]-oo, a[ ou |truc, a[ U ]a, bidule| (où truc et bidule sont finis ou infinis) on travaille toujours soit à gauche soit à droite de a en écrivant $ \lim_{x \to a \\ x <a} f(x) = ... $ ou $ \lim_{x \to a \\ x > a}f(x) = ... $

    je préfère donc distinguer les cas a fini (où on distingue x < a ou x > a) des cas a infini (où il n'y a rien à préciser (puisque "forcément" x < +oo ou -oo < x)

    je donne donc "une liste" de deux théorèmes pour le théorème des gendarmes (cas f < g < h) : à droite de a et en +oo (à adapter à gauche de a et en -oo)

    et "une liste" de deux théorèmes de comparaison (minoration : cas f < g) en a fini et en +oo et à nouveau "à adapter" pour la majoration et pour -oo

    ça me semble plus clair pour les élèves (en terminale) et ça évite ces problèmes de limite épointée ... ou non et de toute façon jamais définie (en particulier lorsqu'on introduit le nombre dérivée comme limite du taux de variation avec "$x \ne a$" ou "$ h \ne 0$")

    enfin celui qui "comprend" (= réfléchit et pense) les math comprendra par la suite les notations plus fines introduites dans le supérieur et la nécessité de ces notions de limites pointées ou épointées ...

     ;) 

    PS : et mon propos tient d'autant plus maintenant avec ce qu'on fait en math et qu'on voit les élèves ne pas comprendre que $ \dfrac {3x - 6} {2x - 4} = \dfrac 3 2 $ mais écrivent allègrement $ \dfrac 6 3 = 2$ et $\dfrac 3 6 = \dfrac {} 2 $ (l'absence de 1 n'est pas une erreur)

    car ils ne connaissent pas la règle $ \dfrac {k \times a} {k \times b} = \dfrac a b$ et que quand on simplifie par 3 ben il ne reste rien dans le premier cas donc il ne reste rien dans le deuxième cas car ils ne comprennent/savent pas/plus que $ 2 = \dfrac 2 1$ ce qu'on n'écrit "évidemment" pas !!

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Modifié (November 2023)
    Rebonjour
    Oubliez que je suis Gébrane, (@chalk, crois-tu que mon but est de remplir des disques durs ?).

    Imaginons que je suis un élève qui ne sait pas encore que $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1$. Le professeur nous propose comme théorème la version de trois cas (que je remercie beaucoup d'avoir donnée). Il nous présente la fonction définie par $\frac{\sin x}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0)=a$ avec $a \neq 1$ pour tester notre compréhension. Il nous dit que si on peut démontrer avec le théorème des gendarmes que cette fonction n'admet pas de limite en $0$, et comme indication, il donne cet encadrement qu'on peut utiliser sans démonstration : $\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$ pour tout $x \in ]0, \frac{\pi}{2}[$.
    Comme un bon élève qui connaît son cours, je me dis que si $f$ admet une limite, alors nécessairement cette limite est $a$. Mes fonctions $\cos x$, $f$ et $1$ sont définies sur $\mathbb{R}$ et je me sens bloqué pour appliquer l'inégalité sur $I=\mathbb{R}$ car elle est vérifiée seulement sur $]0, \frac{\pi}{2}[$. Le professeur me suggère d'appliquer le théorème en prenant les restrictions de ces fonctions à un bon intervalle. Je m'applique je choisis  $I=[0, \frac{\pi}{2}[$ et je bloque car l’inégalité n'est pas vérifiée sur $I$ et je ne peux rien dire et imaginons que mon prof est zygomathique il va me dire mais non gebrane, il faut l'appliquer sur $I=\,]0, \frac{\pi}{2}[$,  je réplique en  lui suppliant  de donner l'énoncé complet (sa version) lorsque je travaille avec les restrictions de f, g  et h  pour l’appliquer ici et dans d'autres exemples.
    @Dom content de te revoir réagir sur le forum.
    Le 😄 Farceur


  • Je pense que dans un cours raisonnable au lycée, l'énoncé du théorème des gendarmes ne doit pas faire allusion à la notion de voisinage.
    Par contre, en remarque, on fera observer qu'un encadrement sur $]0,1]$ suffit pour obtenir une limite en $0^+$ ou des exemples similaires.
    Cette notion de caractère local de la limite est effectivement une notion difficile, à traiter à part des théorèmes généraux d'opérations ou d'encadrement.
  • DomDom
    Modifié (November 2023)
    Du coup on peut (doit ?) même ajouter dans la remarque « … suffit […] en 0+ MAIS ne suffit pas pour obtenir l’existence d’une limite en 0 ». 
    Merci au passage pour l’info sur le consensus au sujet des limites à gauche/à droite. 
    Ce fil dont le début n’est pas polémique permet de revoir rapidement les points de vue sur épointée/pointée. J’avais déjà posé cette question pour le cas à gauche/à droite… (c’est toujours intrigant de ne pas se souvenir de ce que l’on a dit…).
  • Modifié (November 2023)
    Jlapin a dit
    Non, la notion de limite à droite/à gauche est la même chez les français et chez les anglo-saxons.
    Je suis désolé de te contredire!. Les FR et ENG divergent aussi sur les limites à gauche et à droite,  j'en ai payé les frais pour la fonction de Heaviside. Elle admet $0$ pour limite à gauche selon le mode ENG et n'admet pas de limite à gauche selon le mode FR (je rappelle que cette fonction est définie par $H(x) = 0$ si $x < 0$ et $1$ si $x \geq 0$). . D'ailleurs, @Dom a partagé maintes fois un document  de Daniel Perrin qui en parle
    Le 😄 Farceur


  • Le document de Daniel Perrin signale qu'il faut être cohérent mais à ma connaissance, je ne connais aucun cours de lycée ou de premier cycle qui propose une définition de la limite à gauche/droite ne permettant pas de dire que ta fonction $H$ possède une limite nulle en $0^-$ (ie à gauche en $0$).
    Mais peut-être que tu as un contre-exemple à me proposer.
  • Et ça veut dire quoi, 'cohérent' ? Puisque les CPGE de France ont choisi la limite pointé, pour être cohérent, on applique la même démarche pour les limites à droite et à gauche, non?
    J'avais un document, si je le trouve le partage
    Le 😄 Farceur


  • je suis d'accord avec @JLapin au sujet de la fonction de Heaviside : elle admet une limite à gauche et à droite

    @gebrane je te propose les fonctions suivantes : 

    $f(x) = \sin x$ si $x < 0$
    $f(x) = \cos x$ si $ x \ge 0$

    et deux autres avec un "problème" en 0 (du moins d'un côté) : 

    $g(x) = \dfrac {|x|} x$ si $x < 0$
    $g(x) = \cos x$ si $x \ge 0$

    $h(x) = \dfrac {\sin x} x $ si $ x < 0$
    $h(x) = \cos x$ si $ x \ge 0$

    ces fonctions ont-elles une limite à gauche de 0 ? à droite de 0 ? en 0 ? (donc elle serait alors continue en 0 ou du moins prolongeable par continuité en 0)

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

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