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Quatre premiers

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour,
en furetant dans les allées de la BU, je suis tombé sur ce joli problème (non-résolu) d’algèbre. 
Trouver un $n$ qui soit le produit de $4$ nombres premiers distincts et tel que tout groupe d’ordre $n$ soit abélien.
L’ouvrage ne contient que l’énoncé mais on pense bien sûr au théorème de Sylow qui dit que si $n=p_1p_2\cdots p_k$ est le produit de $k$ premiers consécutifs, alors un groupe d’ordre $n$ possède au moins un sous-groupe d’ordre $p_i$,  $1\leq  i \leq k$. 
Avez-vous une idée de la stratégie qui permet de choisir $4$ nombres premiers de sorte que leur produit soit toujours l’ordre d’un groupe abélien ?

Réponses

  • S'arranger pour que les Sylow soient tous distingués.
  • Bonsoir,
    L'entier $n=3\times 5\times 17\times 23$ me semble convenir
  • En effet, $\varphi(n)=2^8\times11$, qui est premier avec $n$. Cf. https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/630579/#Comment_630579.

  • Modifié (November 2023)
    Plus généralement, un entier $n$ est dit être un nombre abélien lorsque tout groupe d'ordre $n$ est abélien. Comme pour les nombres cycliques, une CNS pour que $n$ soit abélien est que $n$ ne soit pas divisible par un cube de nombre premier, et que pour tout $p, q$ premiers distincts divisant $n$, on n'a pas $p \mid q^{v_q(n)} - 1$.

    Le côté nécessaire n'est pas très difficile à voir (pour tout nombre premier $p$, il existe des groupes d'ordre $p^3$ non abéliens, et en cas de divisibilité on peut construire des produits semi-directs non triviaux). Le côté suffisant s'établit par récurrence il me semble.
  • Merci pour vos réponses !

    S’arranger pour que les Sylow soient tous distingués cela est équivalent à dire qu’il n’y a qu’un seul $p_i$-sous-groupe pour tout $i$. Le troisième théorème de Sylow dit que le nombre de sous-groupes distincts d’ordre $p_i$ est de la forme $n_i=1+kp_i$ pour un $k \geq 0$ et $n_i$ divise $n$.
    Donc si on choisit chaque $p_i$ de sorte qu’aucun des $1+kp_i$ ne divise $n$ pour tout $k >0$ alors cela implique qu’il y a exactement un $p_i$-sous-groupe par $p_i$ et donc que Les $p_i$-sous-groupes sont distingués.
  • Modifié (December 2023)
    Outre une caractérisation des nombres « cycliques » ou « abéliens », il existe aussi une caractérisation des nombres « nilpotents » et même « résolubles »! Une preuve du cas cyclique (sans utiliser les théorèmes de Sylow) se trouve en particulier dans un papier de J.A. Galhan et D.  Moulton (When is Zn the only group of order n?). Les cas nilpotents et résolubles sont dans un papier de J. Pakianathan et K. Shankar (Nilpotent and soluble numbers). Ces papiers sont en libre accès sur Internet.
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