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Algèbres de von Neumann réduites

Modifié (November 2023) dans Analyse
Bonjour, j'ai besoin de votre aide je bloque sur un exercice censé être simple sur les algèbres de von Neumann.

Pour $i=1,2$, je considère $\mathcal{M}_i\subset\mathcal{B}(H_i)$ une algèbre de von Neumann et $e_i\in\mathcal{M}$ une projection d'image $e_iH_i$. Je note $(\mathcal{M}_i)_{e_i}\subset\mathcal{B}(e_iH_i)$ l'algèbre de von Neumann réduite, qui, par définition, est l'ensemble des opérateurs de la forme $e_ix_ie_i$, où $x_i\in\mathcal{M}_i$. Je pose $H=H_1\otimes H_2$ l'espace de Hilbert produit, $\mathcal{M}=\mathcal{M}_1\otimes\mathcal{M}_2\subset\mathcal{B}(H)$ l'algèbre de von Neumann produit, définie comme l'algèbre de von Neumann sur $H$ engendrée par $\mathcal{M}_1\odot\mathcal{M}_2:=\{x_1\otimes x_2\mid x_1\in\mathcal{M}_1,\ x_2\in\mathcal{M}_2\}$ et la projection $e=e_1\otimes e_2\in\mathcal{M}$. L'objectif est de montrer que $(\mathcal{M}_1\otimes\mathcal{M}_2)_e=(\mathcal{M}_1)_{e_1}\otimes(\mathcal{M}_2)_{e_2}$ dans $\mathcal{B}(eH)=\mathcal{B}(e_1H_1\otimes e_2H_2)$.

J'arrive à justifier l'inclusion $(\mathcal{M}_1)_{e_1}\otimes(\mathcal{M}_2)_{e_2}\subset(\mathcal{M}_1\otimes\mathcal{M}_2)_e$. En effet, en partant de l'égalité évidente $(\mathcal{M}\odot\mathcal{M}_2)_e=(\mathcal{M}_1)_{e_1}\odot(\mathcal{M}_2)_{e_2}$, il vient  $(\mathcal{M}_1)_{e_1}\odot(\mathcal{M}_2)_{e_2}\subset(\mathcal{M}_1\otimes\mathcal{M}_2)_e$, et comme $(\mathcal{M}_1\otimes\mathcal{M}_2)_e$ est bien une algèbre de von Neumann (chose ici qu'on admet) on en déduit bien que $(\mathcal{M}_1)_{e_1}\otimes(\mathcal{M}_2)_{e_2}\subset(\mathcal{M}_1\otimes\mathcal{M}_2)_e$. 

Pour l'inclusion réciproque, je bloque.
Des idées ?
Merci

Réponses

  • C'est pareil non ?
    $(\mathcal{M}\odot\mathcal{M}_2)_e\subset (\mathcal{M}_1)_{e_1}\otimes(\mathcal{M}_2)_{e_2}$ puis on prend l'adhérence du membre de gauche.
  • Est-ce qu'il ne faut pas utiliser le fait que dans une algèbre de von Neumann $\mathcal{M}$, si $e$ est une projection, alors $f: x \in \mathcal{M} \mapsto exe \in \mathcal{M}$ est $\sigma$-continue ?
    Et le lemme de topologie générale qui dit que si $f$ est une fonction continue de $E$ dans $F$ ($E$ et $F$ deux espaces topologiques), alors pour toute partie $A \subset E$, $f( \overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ ?
  • Modifié (November 2023)
    @JLT. Justement, est-ce que l'algèbre de von Neumann  engendrée par $(\mathcal{M}_1\odot\mathcal{M}_2)_e$ c'est bien (ou du moins contient) $(\mathcal{M}_1\otimes\mathcal{M}_2)_e$ ? 

    @marco. Merci marco. Est-ce que tu verrais une justification purement algébrique, c'est-à-dire qui utilise uniquement le fait que l'algèbre de von Neumann engendrée par une partie (edit : stable par involution) c'est son bicommutant ? Au final, cela revient à répondre à la question suivante : si $\mathcal{A}\subset\mathcal{B}(H)$ est une partie de bicommutant $\mathcal{A}''\subset\mathcal{B}(H)$, et $p\in\mathcal{A}$ une projection, est-ce qu'on peut montrer de manière purement algébrique que $(\mathcal{A}'')_p\subset(\mathcal{A}_p)''$ dans $\mathcal{B}(pH)$ ? 
  • Non, je ne vois pas.
    Pour la deuxième question, est-ce qu'il ne faut pas supposer que la partie $\mathcal{A}$ est stable par l'opération $x \mapsto x^*$ ? En effet, dans $\mathcal{M}_2( \mathbb{C})$, si $\mathcal{A}= \{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0& 0\end{pmatrix}\}$, alors $\mathcal{A}'=\{\begin{pmatrix} a &b \\ 0 & a \end{pmatrix} ~|~ a,b \in \C\}$, donc $\mathcal{A}''=\mathcal{A}'$ n'est pas une algèbre de von Neumann.
  • Oui, oui ! Si on ne demande pas que la partie soit stable par adjonction, le commutant (et donc le bicommutant) n’ont pas de raison d’être stables par adjonction non plus.
  • Modifié (November 2023)
    oui vous avez raison, j'ai corrigé. Merci

    D'ailleurs, si on veut être sur que l'inclusion $(\mathcal{A}'')_p\subset(\mathcal{A}_p)''$ est vraie en utilisant le raisonnement de marco, il faut que $\mathcal{A}''$ soit bien la fermeture pour la topologie faible des opérateurs de $A$, ce qui nécessite que $\mathcal{A}$ soit une sous-algèbre involutive non non dégénérée, par exemple contient l'identité $1$. Donc je reformule ma question : si $\mathcal{A}\subset\mathcal{B}(H)$ est une sous-algèbre involutive contenant l'identité 1 de bicommutant $\mathcal{A}''\subset\mathcal{B}(H)$, et $p\in\mathcal{A}$ une projection, est-ce qu'on peut montrer de manière purement algébrique que $(\mathcal{A}'')_p\subset(\mathcal{A}_p)''$ dans $\mathcal{B}(pH)$ ? 
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