Oral Mines-Ponts séries entières

eiram

Bonjour.

On considère une série entière $\sum_{k\geq 0} c_kx^k$, et $C$ sa somme, et on suppose que :

1. il existe un réel $r\in \left]0,1\right[$ tel que : $\forall k\in \N,\ |c_k| \leq r^{k^2}$,
2. il existe un réel $a>1$ tel que : $\forall n\in \N,\ C(a^n)=0$.

Il s'agit de montrer que tous les coefficients $c_k$ sont nuls. Merci d'avance pour votre aide.

jm14d

Ouch j'étais tombé sur les séries entières à ce même oral, mais c'était drôlement moins costaud

Ton exo me fait penser à un autre exo dont on ne venait pas à bout sans utiliser le théorème de Baire... mais celui-ci est-il au programme de Spé ?

hx1_210

Moi je pense aux zéros isolés.
il y a du travail pour construire avec 1 un suite $z_p$ de limite nulle telle que pour tout $p$
$C(z_p)=0$
Je n’ai pas essayé mais c’est une piste à laquelle je pense.

john_john

Je suis peut-être en train d'écrire des bêtises, mais il me semble que le résultat est faux sans une hypothèse quant au couple $(a,r)$.

En effet, pour $x$ réel, je pose $f(x)=\displaystyle\prod_{k=0}^{+\infty}\big(1-\frac x{a^k}\big)$ ; cela a un sens car c'est un produit infini AC et il est nul en les $a^k$ et ceux-là seulement.

On a $f(0)=1$ et, pour tout $x$, la formule $f(ax)=(1-ax)f(x)$.

Or, si $g$ continue de $\R$ dans $\R$ satisfait aussi ces deux conditions, de $\displaystyle g(x)=(1-x)(1-\frac xa)\cdots(1-\frac x{a^n})g(x/a^{n+1})$, on déduit que $g=f$.

Mais $\sum c_kx^k$ pour $c_k=(-1)^k\displaystyle\frac{a^k}{(a-1)(a^2-1)\cdots(a^k-1)}$ satisfait cette même relation, de sorte que la somme de cette série entière de rayon de cv infini est $f$.

Enfin, $|c_k|\sim \lambda\displaystyle\frac{a^k}{a^{k(k+1)/2}}$ montre que la première condition de l'énoncé est satisfaite pour $r<1$ assez proche de $1$.

Erré-je ?

john_john

jm14d : comme exercice analogue (mais de très loin) utilisant le théorème de Baire, je vois celui-ci : si $f$, continue de $\R_+^*$ dans $\R$, est telle que $f(nx)\to0$ pour tout $x>0$, alors $f(x)\to0$.

Le thm de Baire n'est pas au programme (et ne l'a jamais été) mais les élèves préparant X-ENS le connaissent.

hx1_210

@john_john

la forme de g que tu établis se prouve par récurrence  sur n il me semble. Mais l’argument qui permet par continuité d’en déduire que f=g m’échappe. Il est peut etre evident car je ne suis plus très rôdé sur ces histoires.

Un indice peut être ?

john_john

Bonsoir, hx1_210,

de la formule $\displaystyle g(x)=(1-x)(1-\frac xa)\cdots(1-\frac x{a^n})g(x/a^{n+1})$, on déduit $g(x)=f(x)$ (en tout point) en faisant tendre, à $x$ fixé, $n$ vers $+\infty$, sachant que $g(0)=1$.

hx1_210

Ok, merci je cherchais où servait la continuité mais je n’avais pas les yeux en face des trous.
Bref cela ne donne pas la solution du problème, d’autant plus si l’énoncé est faux.

john_john

De rien ! Cela dit, l'énoncé n'est pas forcément faux, mais seulement incomplet. Peut-être cela marche-t-il si l'on suppose $r<\sqrt a$ (ou $|c_k|<r^{k^3}$, va savoir...)

jm14d

@john_john : oui merci c'était bien cet exercice-là !

john_john

De rien, jm14d !
Il ne resterait plus, à présent, qu'à avoir une version de l'énoncé initial qui soit complète.