Points d'inflexions et monotonie — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Points d'inflexions et monotonie

Modifié (December 2023) dans Analyse
Bonjour,
Soit $f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{x}$ définie sur $]-1, +\infty[-\{0\}$.
1) $f$ est prolongeable par continuité en $0$ ($f(0)=1$), on note $f$ son prolongement.
2) $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=-1/2$.
3)  $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2(x+1)}$, où $g(x)=x-(x+1)ln(x+1)$, pour $x\in ]-1, +\infty[-\{0\}$ (on a déjà montré dans un exercice que $g$ est négative sur $]-1, +\infty[$)
Qestion:
préciser le sens de variation de $f$ sur $]-1, +\infty[$ et déduire les extremums et les points d'inflexions de $f$?
Ma réponse:
$f$ est strictement décroissante sur $]-1, +\infty[$ car  $g$ est négative sur $]-1, +\infty[$ et $f'(0)=-1/2 <0$.
$f$ n'admet  pas d'extremums car $f'$ ne s'annule pas (absence de condition nécessaire). 
Pour les points d'inflexions, je ne vois pas comment déduire si $f$ admet des points d'inflexions ou non! :|
Aidez-moi svp !





«1

Réponses

  • Bonjour, $f$ est localement analytique en tout point de son domaine de définition $]-1,+\infty[$ donc  on peut caractériser les extremums et points d'inflexions de $f$ avec l'étude des zéros de $f'$ et $f"$ puisque en aucun point $x$ on a $f'(x)=f"(x)=0$!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • @AssilA

    Dans ton tableau de variations, présente une ligne avec le signe et les zéros de la dérivée seconde et tu pourras lire la réponse dans le tableau.
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    $-$ Les extremums se trouvent aux points où la courbe change de variation.
    $-$ Les extremums locaux se trouvent aux points où la courbe change de variation.
    $-$ Les points d'inflexions se trouvent aux points où la courbe change de concavité.

    $-$ Si $f$ est dérivable, les extremums se trouvent aux points où la dérivée première $f'$ s'annule et change de signe.
    $-$ Si $f$ est deux fois dérivable, les points d'inflexions se trouvent aux points où la dérivée seconde $f''$ s'annule et change de signe.
    D'après le tableau de gauche, $A(x_0,f(x_0))$ est un point extremum (minimum).
    D'après le tableau de droite, $A(x_0,f(x_0))$ est un point d'inflexion.

  • Modifié (November 2023)
    Non, 
    Un extremum ne peut pas être un point d'inflexion. 
    f'' s'annule est une condition nécessaire, mais non suffisante pour avoir un point d'inflexion.


    Oups
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • L2M tout ça, je le sais, mais dans mon exercice, on me demande de déduire si la fonction $f$ admet des points d'inflexions, donc je pense pas qu'il faut passer par le calcul de la dérivée seconde, n'est ce pas ?
  • JLapin Je sais mais dans l'exercie, on me demande de déduire des questions précédents!
  • AlainLyon je ne comprends pas "localement analytique" (hors programme).
    Dans mon exercice $f'$ n'est pas nulle comme vous dites, elle strictement négative!
  • Modifié (December 2023)
    JLapin Je sais mais dans l'exercie, on me demande de déduire des questions précédents!

    Impossible à faire selon moi.

  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
     Tu peux utiliser le cas particulier suivant.
    Propriété
    . Si la dérivée d'une fonction dérivable s'annule en un point $a$ et ne change pas de signe en ce point, alors sa courbe admet un point d'inflexion en $A(a,f(a))$.
  • Comme la fonction $x\mapsto x^3$.
  • Attention @AssilA , la méthode présentée ne permet pas de trouver tous les points d'inflexion.
  • Modifié (December 2023)
    L2M Mais on ne peut pas appliquer cette propriété.
    Propriété. Si la dérivée d'une fonction dérivable s'annule en un point a et ne change pas de signe en ce point, alors sa courbe admet un point d'inflexion, car notre $f'$ ne s'annule en aucun point !
  • Modifié (December 2023)
    JLapin Impossible de faire selon toi, donc l'on ne peut pas déduire, il faut passer par le calcul des dérivées secondes ? n'est-ce pas ?
  • evev
    Modifié (December 2023)
    @L2M : Les extremums se trouvent aux points où la courbe change de variation.
    On est sûr de ce truc ?
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • @ev   Non.... :(
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    La courbe de $f$ est convexe. Elle n'admet pas de points d'inflexions. Je te présente les clés de la réponse :
    $-$ Tu montres que pour tout $x>-1$ ($x\not=0$), $$f''(x)=\frac{h(x)}{x^3(x+1)^2}=\frac{xh(x)}{x^4(x+1)^2},$$ où $h(x)=2(x+1)^2\ln(x+1)-x(3x+2)$.
    On constate que le signe de $f''(x)$ correspond au signe de $xh(x)$.
    $-$ Ensuite, tu montres que pour tout $x>-1$ ($x\not=0$), $$h'(x)=-4g(x)\geq 0,$$
    Ainsi, $h$ est croissante. Puisque $h(0)=0$, alors $h$ est négative sur $]-1;0[$ et positive sur $]0;+\infty[$.
    Ce qui permet de déduire immédiatement que $xh(x)\geq 0$ pour tout $x>-1$ ($x\not=0$).
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    ev : ... et si on ajoute locaux !
    Les extremums locaux se trouvent aux points où la courbe change de variation.

    J'en suis pas sûr.

  • Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    zeitnot : Quel est l'extrémum dans la courbe qui ne correspond pas au changement de variation ?
  • Modifié (December 2023)
    Il va falloir arrêter de changer de version toutes les deux secondes, un coup tu dis extremum, un coup tu dis extremum local au gré du vent.
    Par rapport à ta dernière remarque, en $-3$ tu as un extremum local, observes-tu un changement de variation ?
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Modifié (December 2023)
    Ici tu as un minimum en -1. Observes-tu un changement de variation ?
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    zeitnot a dit : Par rapport à ta dernière remarque, en −3 tu as un extremum local, observes-tu un changement de variation ?
    En $-3$, on n'a pas un extremum local.
  • Modifié (December 2023)
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    Je sais bien ce qu'est un extremum local et un extremum global. Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi tu dis que "... en −3 tu as un extremum local, ..."
  • Modifié (December 2023)
    Visiblement non. Tu as le cours en pdf  que j'ai mis ?
    Pour tout $x$ élément de $[-3 ; -2]$, on a bien, $f(x)\leq f(-3)$, non ?
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)

    Oui, je l'ai merci.

    Il y a une grande confusion. La définition d'un extremum local dans le PDF est complètement différente de celle que je connaissais.
    Voir la définition dans  wikipedia.

  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    Selon mes connaissances, les extremums locaux d'une fonction correspondent aux pics et aux creux de la courbe de cette fonction.
  • Modifié (December 2023)
    Pas de souci.  C'est comme dans le pdf que j'ai appris donc je ne comprenais pas ton souci.  (j'ai cru que tu faisais exprès de ne pas voir.  Désolé). 
    Je ne suis pas un expert, je me rangerai à l'avis des spécialistes. 
    [L'apostrophe n'est pas un élément de décoration ! :) AD]
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Bonjour. 

    La notion d'extrémum local a une définition générale en termes d'inégalités (locales). Si la fonction a une changement de sens de variation, il y a extremum local, mais la réciproque n'est pas vraie. 

    Cordialement. 
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    Je n'arrive pas à voir, par un contre-exemple, pourquoi la réciproque n'est pas vraie. 
  • Modifié (December 2023)
    $x^2\sin^2(1/x)$ prolongée par continuité en $0$ possède un minimum en $0$ mais n'est pas décroissante puis croissante sur un voisinage de $0$.
  • D'accord. Merci.
  • Modifié (December 2023)
    Plus simplement, la courbe de Zeitnot ci dessus a trois extrémums, dont deux sont globaux et un local (en 1). (*)
    Tu as une idée des extrémums locaux qui est basée sur une expérience d'exercices de lycée, mais pas sur la définition.
    Cordialement.
    (*) un maximum global est aussi un maximum local; donc la distinction est surtout global/non global.
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    gerard0.
    Pourquoi la courbe de Zeitnot ci dessus a un extremum local en $1$ ? Elle a un seul extremum local en une valeur entre $0$ et $0.25$.
    Je ne suis pas d'accord avec (*).
    Que penses tu de la définition ici wikipedia.
  • Dans le dessin de Zeitnot, il a mis un gros point rouge en (-3, 2).
    Pour moi, ce point signifie que la fonction n'est pas définie pour x<-3.

    Et donc, si je regarde la définition de Wikipédia (qui est celle que j'ai dans mes lointains souvenirs), le point (-3,2) est un extremum local.

    Et pour revenir aux points d'inflexion, sur ce dessin, je vois 2 points d'inflexion. Un point quelque part vers (-1, 3) et un autre vers (2.5, 2.4)
    Entre ces 2 points, si je trace la tangente en un point quelconque $M_0$, au voisinage de ce point, la courbe est en dessous de sa tangente.
    En dehors de l'intervalle, c'est l'inverse, la courbe est au dessus de sa tangente.
    C'est ce qui définit un point d'inflexion : Un point est un point d'inflexion si et seulement si en ce point la courbe 'traverse' sa tangente.
    Un extremum local ne peut pas être un point d'inflexion.
    En particulier, si la fonction est définie sur l'intervalle $[a,b]$, les points $a$ et $b$ ne peuvent pas être des points d'inflexion, alors qu'ils sont très bons candidats pour être des extremums locaux.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (December 2023)
    Il serait temps que tu prennes les définitions habituelles de "extrémum" (global, local). Avec ces définitions, il y a maximum en un point situé entre 0 et 0,25, minimum en -1 et minimum local en 1. Le maximum est légèrement positif, les minimums valent -6 et -2.
    Quelle est ta définition à toi ? Je parle bien d'une définition, pas d'une habitude.
    Cordialement
  • Voici la définition sur laquelle je m'appuie.

    Soit $f$ une fonction réelle à variable réelle définie sur un ensemble $D$, et $a\in D$.

    $-$ On dit que $f$ atteint en $a$ un maximum local s'il existe un intervalle ouvert $I \subset D $ contenant $a$ tel que pour tout élément $x\in I$, on ait $f(x) \leq f(a)$.

    $-$ On dit que $f$ atteint en $a$ un minimum local s'il existe un intervalle ouvert $I \subset D $ contenant $a$ tel que pour tout élément $x\in I$, on ait $f(x)\geq f(a)$.

    Dans la définition d'un extremum local, la fonction doit être définie à la fois à gauche et à droite de $a$. La notion de localité découle de l'existence d'un intervalle ouvert (voisinage de $a$) dans lequel $f(a)$ est la valeur extrême.

  • D'après votre définition : Un extremum local en $a$ est un extremum sur un intervalle quelconque contenant $a$.
  • Modifié (December 2023)
    1) Pas "sur un intervalle quelconque", sur un voisinage de $a$ dans $D$.
    2) Tu n'as pas donné la définition de "maximum" (global)
    3) Pour quelle raison $I$ doit-il être ouvert ? Autant, c'est nécessaire si on parle de dérivabilité, et encore, on parle de dérivée à droite et de dérivée à gauche; autant ici, il n'est question que d'inégalité.
    4) Dans toutes les questions de maximisation, les valeurs "extrêmes" de $D$ sont évidemment considérée.
    Tes définitions ressemblent à une tentative d'éviter les cas d'extrémums pour lesquels la nullité de la dérivée ne donne rien. Tu as une référence
    Cordialement.
  • @gerard0
    Je pense que ton dernier message s'adresse à moi, et au problème sur le point d'abscisse -3 qui ne serait pas un extremum local ?
    Possible, comme je le dis régulièrement, j'ai été un bon matheux il y a de nombreuses années, ma mémoire peut flancher, et certaines définitions peuvent avoir changé. Je suis preneur de toute remarque constructive.
    Et du coup, j'ai cherché un peu. Pour les fonctions définies sur un intervalle ouvert, on trouve plein de choses, c'est '''simple'''. Tout ce que j'ai trouvé pour le cas en question : intervalle fermé, point frontière, c'est sur bibmaths et on y dit que dans ce cas, le point est bien considéré comme un extremum local.
    Qu'en est-il ? 

    Ma définition ? Sur ce sujet comme sur d'autres, Wikipedia me convient très bien.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (December 2023)
    Salut Lourrran.
    Non, je ne te répondais pas, d'ailleurs j'ai répondu à L2M une minute après que tu aies publié ton message. Je ne tape pas si vite qu'en une minute j'ai eu le temps de lire, de bien réfléchir et de taper 4 lignes ...
    De même, ton message de 13h 10 ne répond pas au précédent, publié par moi à 13h09.
    Je lis maintenant tes messages ...
  • Modifié (December 2023)
    Suite.
    "Et pour revenir aux points d'inflexion, sur ce dessin, je vois 2 points d'inflexion." Sur quel dessin ? sur celui de Zeitnot ? Bizarre, il n'y a aucune inflexion caractérisée. Manifestement, tu parles d'un autre, car (-1,3) n'est pas sur le courbe de Zeitnot que j'avais signalée.
    "on y dit que dans ce cas, le point est bien considéré comme un extremum local." Oui, c'est la tradition (j'ai fait ça en cours en première en 1966, je l'ai enseigné ensuite en premières STI et S, puis à plus haut niveau).
    Donc pas de souci avec ce que tu écrivais sur les extrémums.
    Cordialement.
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    Tu as dit :
    1) Pas "sur un intervalle quelconque", sur un voisinage de $a$ dans $D$.
    $-$ La notion de voisinage $V$ de $a$ (en maths) suppose l'existence d'un intervalle ouvert $I$ tel que $a\in I \subset V$.
    $-$ Un extremum globale est l'unique extremum sur le domaine de définition globale considéré de $f$.
    $-$ Une référence wikipedia. il y a notion de voisinage.

  • Lorsque $D=[0,1]$, on devrait plutôt parler de voisinage relatif pour définir la notion d'extremum local d'une fonction définie sur $D$.
    Par exemple $[0,1/2[$ est un voisinage relatif de $0$ sur $D$.
  • Modifié (December 2023)
    L2M
    La notion de voisinage suppose l'existence d'un ouvert de $D$ contenant $a$. Si $D=[0,1]$, alors $]0,9;1]$ est un ouvert de $D$ mais pas un intervalle ouvert. Et c'est un voisinage de $1$.
    Ce qui se passe vers $1$ dans $D$ n'est pas concerné par les réels strictement supérieurs à 1, puisqu'ils ne sont pas dans $D$.
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
  • Modifié (December 2023)
    Oui, je suis d'accord avec Bibmath, qui, pour un minimum ou maximum local, ne dit pas "un intervalle contenu dans $D$ (ici dans $I$)", mais "pour tout $x\in J\cap I"$. Et qui définit un extrémum global sans considération de localité.
    Applique ces définitions à la fonction de Zeitnot ($J=]0,5;1,5[$ pour le minimum local en 1) et tu trouveras exactement ce que je disais.
    Cordialement.
  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    JLapin : Ok. Oui c'est absolument ça la cause de la confusion.
    J'ai appris quelque chose aujourd'hui. Merci.

  • L2ML2M
    Modifié (December 2023)
    gerard0. Je comprends très bien maintenant.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!