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Recherche énoncé

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour. Il me semble avoir vu passer un énoncé disant que, si $a$ et $b$ sont des complexes distincts, un polynôme non constant  $P \in \mathbb C[X]$ est déterminé par $P^{-1}(a)$ et $P^{-1}(b)$, mais je ne le retrouve pas. Merci pour votre aide.
Fr. Ch.

Réponses

  • Bonjour, François,
    cela me dit quelque chose ; je vais me plonger dans mes classeurs d'exos !
  • Soit $P$ et $Q$ deux polynômes non constants de $\C[X]$ et $a,b$ deux complexes distincts.
    On suppose que $P^{-1}\{a\} = Q^{-1}\{a\}$ et $P^{-1}\{b\} = Q^{-1}\{b\}$.
    Alors $P=Q$.
    Cet énoncé apparait (sous une forme inexacte) dans la RMS 133-2.
  • Grillé par JLapin ! 
  • Modifié (November 2023)
    Incroyable, mais vrai. 
    J'allais ouvrir une conversation sur cet exo.
    Une élève de Spé m'a posé la question il y a une semaine !

    Une bonne âme pour me montrer ce que dit la RMS ? Sinon, j'attendrai demain.
  • Cum grano salis : j'ai posé à l'instant la question à chatgpt (je pense qu'elle était claire, non ?) et voici la réponse.

    Q : Avec quelles hypothèses un polynôme non constant est-il déterminé par les antécédents de deux valeurs ?
    avatar

    R : Bonjour! En mathématiques, un polynôme non constant est déterminé par les antécédents de deux valeurs sous certaines hypothèses. En particulier, si le polynôme est de degré n, alors il est déterminé par les antécédents de n+1 valeurs distinctes. Cela signifie que si vous connaissez les antécédents de deux valeurs distinctes, vous ne pourrez pas déterminer un polynôme non constant de manière unique. Il vous faudra plus d'informations pour le faire. J'espère que cela répond à votre question !
  • Modifié (November 2023)
    On se ramène facilement au cas où $a=0$ et $b=1$.
    On se donne donc $P$ et $Q$ non constants tels que $P,Q$ et $P-1,Q-1$ possèdent les mêmes racines.
    Dans $\C[X]$, on a la jolie formule $$\deg(A) - \deg(A\wedge A') = card \{\text{racines de}\ A\} .$$
    Elle permet de montrer que $P-Q$ est constant car il s'annule suffisamment de fois.
  • Merci pour ces promptes réponses. J'étais persuadé d'avoir vu cet énoncé sur le forum. Il m'est arrivé plus d'une fois d'y voir quelque chose d'intéressant, et de le laisser perdre ensuite. Et j'ai l’impression que le moteur de recherche interne ne fonctionne pas, ou alors c'est moi qui ne sais pas le faire fonctionner...
    Si j'ai bien compris, la réponse faite par ChatGPT à John_John est erronée, C'est plutôt une bonne nouvelle, non ? ;)
    Quelle est la référence de cet énoncé dans la RMS 133-2 ?
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • C'est le numéro 409. Mais l'énoncé est incorrect (il manque le caractère non constant des polynômes).
  • Et j'ai l’impression que le moteur de recherche interne ne fonctionne pas, ou alors c'est moi qui ne sais pas le faire fonctionner...
    Tu peux taper
    site:les-mathematiques.net {ta recherche}

    en mettant ce que tu veux à la place de "{ta recherche}" sur ton moteur de recherche préféré de sorte à réaliser une recherche pertinente sur le forum.

    Voici un exemple :


    「少年はみんな 明日の勇者ぁ〜!」
  • Bonjour,
    oui, effectivement, chatgpt n'a pas compris la question (ou, pis, il l'a comprise et pense avoir répondu, si tant est qu'une IA puisse penser, fût-ce... artificiellement).
  • Modifié (November 2023)
    Merci dp, ça marche dans Firefox.
    JLapin, la  formule $\deg(A) - \deg(A\wedge A') = |A^{-1}(0)|$, est effectivement très jolie. J'ai essayé de l'appliquer aux polynômes $P-a$ et $P-b$, mais je n'arrive pas à conclure :/ .
    À mesur' que je deviens vieux
    Je m'en aperçois mieux, j'ai le cerveau qui flanche
    Soyons sérieux, disons le mot, c'est mêm' plus un cerveau
    C'est comm' de la sauc' blanche…
  • La donnée de $P^{-1}(a)$ impose $n$ conditions linéaires sur les $n+1$ coefficients de $P$, et celle de $P^{-1}(b)$ également. Comme $2n \geq n+1$ pour $n \geq 1$, il existe au plus une solution.
  • Modifié (November 2023)
    Merci, je cherche plutôt une solution avec la « jolie formule » bien qualifiée par JLapin et il me semble que j'ai fini par la trouver.
  • Probablement en remarquant que les pgcd $(P-a)\wedge P'$ et $(P-b)\wedge P'$ sont premiers entre eux ?
  • MrJMrJ
    Modifié (November 2023)
    Il y a des éléments de correction à la fin.
  • Modifié (December 2023)
    Voici finalement ma solution.
    CARACTÉRISATION D'UN POLYNÔME PAR DEUX ENSEMBLES D'ANTÉCÉDENTS
    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    • Soient $a\in \mathbb{C}$ et $b\in \mathbb{C}$, distincts. Montrer qu'un polynôme non constant $P\in \mathbb{C}[X]$ est déterminé par les ensembles $P^{-1}(a)$ et $P^{-1}(b)$
     (Ind. On pourra démontrer la formule : $\left\vert P^{-1}(0)\right\vert =\deg P-\deg (P\wedge P^{\prime })$).
    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Lemme. Pour tout polynôme non constant $P\in \mathbb{C}[X]$, on a :  $\left\vert P^{-1}(0)\right\vert =\deg P-\deg (P\wedge P^{\prime })$.
    • Soient $a\in \mathbb{C}$ et $b\in \mathbb{C}$, distincts. Soient des polynômes non constants $P\in \mathbb{C}[X]$ et $Q\in \mathbb{C}[X]$ tels que $P^{-1}(a)=Q^{-1}(a)$ et $P^{-1}(b)=Q^{-1}(b)$. On veut démontrer que $P=Q$. Par l'absurde, si l'on avait $P\neq Q$, supposons SPDG (*) que $\deg P\geq \deg Q$. On pose alors : $n=\deg P$, $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, d'où:  $\deg (P-Q)\leq n$.
    • Les ensembles $P^{-1}(a)$ et $P^{-1}(b)$ sont finis et disjoints. Les éléments de l'ensemble $P^{-1}(a)$ sont des racines de $P-Q$, ainsi que les éléments de l'ensemble $P^{-1}(b)$. L'ensemble $P^{-1}(a)\cup P^{-1}(b)$ est donc un ensemble de racines de $P-Q$, de cardinal $\left\vert P^{-1}(a)\right\vert +\left\vert P^{-1}(b)\right\vert $, d'où : $\left\vert P^{-1}(a)\right\vert +\left\vert P^{-1}(b)\right\vert \leq n$.
    • Les polynômes $P-a$ et $P-b$ n'ont pas de racine commune et sont donc premiers entre eux dans $\mathbb{C}[X]$. En conséquence, les polynômes $(P-a)\wedge P^{\prime }$ et $(P-b)\wedge P^{\prime }$ sont deux polynômes premiers entre eux, tous deux diviseurs de $P^{\prime }$. Leur produit est donc leur PPCM, et c'est un diviseur de $P^{\prime }$. On en déduit : $\deg ((P-a)\wedge P^{\prime })+\deg ((P-b)\wedge P^{\prime})\leq \deg P^{\prime }=n-1$.
    • Le lemme ci-dessus implique : $\left\vert P^{-1}(a)\right\vert=\left\vert (P-a)^{-1}(0)\right\vert =\deg P-\deg ((P-a)\wedge P^{\prime })$ et 
    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$\left\vert P^{-1}(b)\right\vert =\left\vert (P-b)^{-1}(0)\right\vert =\deg P-\deg ((P-b)\wedge P^{\prime })$, d'où il suit : 
    $n\geq \left\vert P^{-1}(a)\right\vert +\left\vert P^{-1}(b)\right\vert =2\deg P-(\deg ((P-a)\wedge P^{\prime })+\deg ((P-b)\wedge P^{\prime }))$ $\geq 2n-(n-1)=n+1$, impossible. CQFD.
    ...................................................................................................
    (*) Sans Perte De Généralité.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • C'est un joli résultat, que je ne connaissais pas, et qui m'a causé quelque tracas, mais j'ai fini par trouver en mettant à profit toutes les aides, que je remercie encore. Je n'ai pas reproduit la démonstration du lemme, qui n'est pas difficile, mais qui n'est pas immédiate non plus, du moins dans la rédaction que j'ai faite, qui égale en longueur la démonstration ci-dessus elle-même. mais peut-être ai-je trop délayé...
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
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