Limite de suite

math65

Bonjour
Je recherche la limite de la suite $(v_n)$ tel que $v_n=\dfrac{1}{n^{2}} \Big(\dfrac{n!}{(3n)!}\Big)^{\tfrac{1}{n}}$

Pour cela, j'utilise la propriété pour une suite $(u_n)$ strictement positive :

$v_n=(u_n)^{\frac{1}{n}}$ avec $u_n=\dfrac{1}{n^{2n}} \dfrac{n!}{(3n)!}$.

En faisant la limite de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, je trouve $0$.

Est-ce bon ?

gebrane

Je ne sais pas comment répondre puisque tu gardes jalousement tes calculs. On peut y arriver au bon résultat avec des calculs faux

math65

C'est long à écrire. mais en calculant $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, je trouve :

$\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}= \frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)(n+1) }\Big(\big(\frac{n}{n+1}\big)^n\Big)^{2}$

je montre que $\Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{n}$ tend vers $e$.

Par conséquent, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers $0$.

gebrane

Comment demontres-tu que la limite de ladite suite est e

jandri

La question posée ne demande aucun calcul puisque $n!<(3n)!$ donc $v_n<\dfrac1{n^2}$.

La bonne question est plutôt de rechercher la limite de $\dfrac{1}{n^{2}} \Big(\dfrac{(3n)!}{n!}\Big)^{\tfrac{1}{n}}$

math65

@gebrane je calcule $\ln(\Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{n})= - (- (n+1)) \ln(1-\frac{1}{n+1})-\ln(1-\frac{1}{n+1})$ et calcule la limite avec le nombre dérivée et trouve-1. En appliquant $\exp$ et cette limite, je trouve $e^{-1}$.

@jandri peut-être une 'erreur' d'énoncé ?

math65

Effectivement, c'est plus intéressant avec  $\dfrac{1}{n^{2}} \Big(\dfrac{(3n)!}{n!}\Big)^{\tfrac{1}{n}}$

Dans ce cas, je trouve $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(n+1)³} \Big(\big(\frac{n}{n+1} \big)^n\Big)^{2}   $

La limite de cela est $27e^{2}$.

J'en déduis que la limite de  $\dfrac{1}{n^{2}} \Big(\dfrac{(3n)!}{n!}\Big)^{\tfrac{1}{n}}$ est  $27e^{2}$ ?

JLapin

Oui, la déduction est correcte.

Tu aurais écrit que le quotient tend vers $73$ donc on en déduit que la limite vaut $73$ aurait été une déduction toute aussi correcte.

lourrran

JTaquin est lapin.

$(3n)! / n!$, c'est le produit de 2n termes, centrés autour de 2n, c'est grosso modo $(2n)^{2n}$ . Très grosso modo, en vrai, on voit bien que le vrai calcul est inférieur à cette estimation, quelque part entre $(\sqrt{3}n)^{2n}$ et $(2n)^{2n}$ .
$((3n)! / n!)^{1/n}$, c'est donc entre $(\sqrt{3}n)^{2}$ et $(2n)^{2}$
Et donc la limite demandée est entre 3 et 4.

Trouver la bonne valeur est 'compliqué' . En tout cas, je n'ai pas la solution sans prendre un papier et un crayon et chercher sérieusement.
Par contre, le calcul que je viens de faire, l'ordre de grandeur de la limite, il est facile.
Il faut systématiquement vérifier si le résultat qu'on donne est plausible.

math65

En fait, la limite de $\big(\frac{n}{n+1} \big)^n$ est $e^{-1}$.

Donc la limite de la suite est $\frac{27} {e^2}$

lourrran

Et ce nombre est bien entre 3 et 4, je ne sais pas si c'est la bonne réponse, je n'ai pas suivi, mais c'est très plausible. 

Quand on fait un calcul compliqué, et quand on sait qu'on n'est pas très fiable (au point de confondre $e$ et $e^{-1}$), la situation n'est pas désespérée. 
On estime par des moyens grossiers la bonne limite, et si la valeur trouvée n'est pas trop loin de l'estimation, ça roule. 

Pour estimer la bonne limite avec des moyens grossiers, on peut prendre une calculatrice, ou un tableur, $u_{50}= 3.69$, et la suite a tout l'air d'être décroissante, La valeur $27/e^2$ est proche de 3.65, c'est plausible.
Evidemment, quand on écrit sa réponse, on est fier et on fait juste les calculs 'sérieux', mais au brouillon, on a fait ces vérifications.

math65

oui, c'est ce que je fais généralement. instinctivement je recherche à prendre du recul sur le résultat en évaluant si cela est fiable. Mais ici, c'était un peu compliqué.

gebrane

Bonjour
J'arrive en retard. J'ai posé la question car tu as dit que la limite est $e$, en fait c'est $1/e$. Pour ne plus commettre ce genre de faute, peux-tu donner la limite en discutant sur les paramètres $a$, $b$ et $c$ en $+\infty$ de $$\left(\frac{x+a}{x+b}\right)^{cx}$$

Chaurien

Mon idée est de passer au logarithme et d'utiliser la formule de Stirling sous forme logarithmique : $\ln n!=n \ln n -n +\frac 12 \ln n +C+ o(1)$.

D'où : $\ln (3n)! -\ln n!=2n \ln n +(3 \ln2-2)n+\frac 12 \ln 3 +o(1)$.

Et par suite : $\ln v_n=\frac 1n( \ln (3n)! -\ln n!) -2 \ln n= $ etc.

Il apparaît que la limite de $v_n$ est $e^{3 \ln 3-2}=27e^{-2}$, et on peut avoir un développement limité de $v_n$ à la précision $o(\frac 1n)$  et même plus précis si l'on utilise la formule de Stirling plus précise : $\ln n!=n \ln n -n +\frac 12 \ln n +C+ \frac 1{12n}+o(\frac 1{n^2})$, ou plus encore si besoin est.

Je n'ai  pas mis la valeur de la constante $C$, bien connue, car elle disparait dans la bagarre .

Bonne soirée.

Fr. Ch.