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Série entière

Modifié (November 2023) dans Analyse
Bonjour à tous,
j'ai retrouvé dans ma base d'exercices cette planche d'oral. Cet exercice me semblait sympathique, mais en essayant de le faire je trouve pas mal d'incohérences mis à part sur le fait que $(u_n)$ n'est pas bornée.
Plus précisément, il me semble que le rayon de convergence de cette série est 0.
Et l'hypothétique relation entre $f$ et $f'$ que j'obtiens est $(1-x^3)f(x)-x^2f'(x)=1$.
Qu'en pensez vous ?
Bonne soirée
F.

Réponses

  • salut

    la suite (u_n) est positive et de $u_{n + 3} \ge (n + 2) u_{n + 2} $ il vient assez vite que $u_n \ge (n - 2)! $ pour n > 3 (enfin à une constante près peut-être)

    j'en viens donc à penser comme toi ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Il faut être regarder la série entière $\displaystyle{\sum \dfrac{u_n}{n!} x^n}$.
  • Modifié (November 2023)
    Si on regarde $\displaystyle{\sum \dfrac{u_n}{n!} x^n}$, la deuxième question ne marche plus (à moins de prendre $(a,b,c,d,e)=(0,0,0,0,0)$, mais ça n'a pas beaucoup d'intérêt).
  • Ok, merci à tous !
  • Modifié (November 2023)
    Si on pose $v_n=\dfrac{u_n}{n!}$ pour tout $n\in\N$, alors la série entière $\displaystyle\sum_{n\geq 0} v_n x^n$ est de rayon supérieur ou égal à $1$ car il est facile de vérifier que pour tout $n\in\N$, $v_n\in [0,1]$.
    Si on note $g(x)$ sa somme pour tout $x\in \left]-1,1\right[$, on montre (si je ne me suis pas trompé dans les calculs) que \[\forall x\in \left]-1,1\right[, \quad (1-x)g^{(3)}(x)=2g''(x)+g(x)\]
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