Base orthonormée dans $L^2$

mathspe

Bonjour.

Soit $\varphi_{m}^{(\alpha)}(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}} L_{m}^{(\alpha)}\left(x^{2}\right) $.

Il est connu que  pour $\lambda \neq 0$, la famille $\quad\Big\{\psi_m(x)=\left(\frac{2|\lambda|^{\alpha+1} m !}{\Gamma(m+\alpha+1)}\right)^{\frac{1}{2}} \varphi_{m}^{(\alpha)}(\sqrt{|\lambda|} x)\mid m \in \mathbb{N}\Big\}$

forme une base orthonormée de l'espace  $L^{2}\left([0, \infty), x^{2 \alpha+1} \mathrm{~d} x\right)$.
Donc pour $f\in L^{2}\left([0, \infty), x^{2 \alpha+1} \mathrm{~d} x\right)$, on a 
$f(x)=\sum^\infty_{m=0} <\psi_m,f> \psi_m(x)=\Big(\sum^\infty_{m=0} \int^\infty_{0}\psi_m(r)f(r)r^{2\alpha+1} dr\Big) \psi_m(x)$.

Ma question. A-t-on $f(x)=\Big( \int^\infty_{0}\sum^\infty_{m=0}\psi_m(r)f(r)r^{2\alpha+1} dr\Big) \psi_m(x)$ ?
Merci.

AlainLyon

Bonjour, comment définis-tu $L^2\left([0,+\infty),x^{2\alpha+1}dx\right)$?

mathspe

Bonjour@AlainLyon.

On  a $f\in  L^2\left([0,+\infty),x^{2\alpha+1}dx\right)$ ssi $\int^\infty_0|f(x)|^2 x^{2\alpha+1}<\infty$

Poirot

Tu obscurcis inutilement ta question, comme toujours. Il s'agit d'une interversion série intégrale, il existe des tas de théorèmes classiques là-dessus, à toi de vérifier si leurs hypothèses sont vérifiées.

mathspe

@Poirot.  J'ai essayé avec le théorème de convergence dominée, Fubini avec mesure de comptage, mais en vain.