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K-algèbre

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonsoir, j'ai besoin de votre aide.
1) i $K$ est un corps et $A=K<ab, a^n=0>$ une algèbre avec (noncommuting indeterminates $a$ et $b$ over $K$)
Dans un article j'ai trouvé l'écriture $AaA$. normalement si $K$ un corps alors tout algèbre sur $K$ est un anneau commutatif, pourquoi alors on a cette expression ?
2) que signifie (noncommuting indeterminates $a$ et $b$ over $K$)? $a$ et $b$ne commutent pas entre eux ? ou bien ne commutent pas avec tous les éléments de l'anneau $A$ ?
3) Si $r \in A$, il s'écrit comment ? Merci d'avance.

Réponses

  • 1, 2) C'est bizarre. Est-ce que ça ne serait pas plutôt $K\langle a,b\mid a^n=0\rangle$ ? La mention “noncommuting indeterminates” signifierait alors que $A$ est le quotient de l'algèbre associative libre sur deux générateurs, c'est-à-dire l'algèbre tensorielle sur un $K$-ev admettant pour base $(a,b)$, par l'idéal bilatère engendré par $a^n$ – encore faut-il supposer que $n$ est fixé auparavant. Dans ce cas, $AaA$ est l'idéal bilatère engendré par $a$.
    normalement si $K$ un corps alors tout algèbre sur $K$ est un anneau commutatif

    Je ne vois vraiment pas pourquoi tu dis ça : n'as-tu jamais rencontré une algèbre de matrices de taille $d\ge2$ ? moins répandu mais tout de même assez connu : une algèbre de quaternions ?

    3) Un élément de l'algèbre libre sur $a$ et $b$ est une combinaison linéaire formelle de mots de la forme $a^{k_1}b^{l_1}\cdots a^{k_h}b^{l_h}$ avec $h\ge0$, $l_1,k_2,\dots,k_h>0$ et $k_1,l_h\ge0$ (je me trompe peut-être sur les conditions de non annulation). Je pense que les éléments de $A$ s'expriment comme combinaisons linéaires analogues obtenues en remplaçant $a$ et $b$ par leurs classes dans le quotient et en imposant la condition que les $k_i$ sont tous $\le n-1$.

  • salut

    la définition de A pose pb : que veut-elle dire : est-ce A = K[a, b] avec la propriété que $a^n = 0$ pour un certain n ou K[ab] ...

    pas clair sans un contexte plus conséquent

    vu l'écriture AaA dans la suite alors il semble raisonnable de penser que l'expression en anglais signifie que a et b ne commutent pas avec A ...

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • ... et ne commutent pas entre eux non plus, a priori.
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