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Simplification d'une monstruosité à base d'arcsinus

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour
On demande de simplifier l'expression $\arcsin(\sqrt {(1+\sin x)/2} - \cos (x/2)/\sqrt 2)$.
A+
A jouer du cor au fond des bois il s'amuse,
Je crains cependant qu'à la fin ce cor ne m'use.
(Tine Lamarre)

Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Bonjour, $$\sqrt{\frac{1+\sin(x)}{2}} = \sqrt{\sin^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)} = \left|\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|.$$
  • RE
    J'avais décomposé $1 + \sin x$ en double produit de sinus cosinus, mais n'avais pas remarqué que l'on pouvait remplacer le cosinus par un sinus égal au premier...
    Merci
    A jouer du cor au fond des bois il s'amuse,
    Je crains cependant qu'à la fin ce cor ne m'use.
    (Tine Lamarre)
  • Modifié (November 2023)
    RE
    Pour ceux que ça intéresse :smile:
    --- la fonction est de période $4\pi$
    --- sur $[-2\pi, 2\pi]$ la fonction est définie  sur $[4\arctan(-3 + \sqrt 6) - \pi/2, 4\arctan(-3 - \sqrt 6) - \pi/2 + 4\pi]$
    --- la fonction est en trois morceaux
    --- sur $[-\pi/2, 3\pi/2]$ la fonction coïncide avec $\arcsin(\sin(x/2)/\sqrt 2)$.
    A+
    A jouer du cor au fond des bois il s'amuse,
    Je crains cependant qu'à la fin ce cor ne m'use.
    (Tine Lamarre)
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