Limite d'une fonction

Nasima23

Slt svp je cherche la démonstration de la première question 

zygomathique

Salut
il suffit d'écrire la définition que $L$ est la limite en prenant $ \epsilon  = \dfrac {|L|} 2 $.

Nasima23

Svp un peu de détail !!

gerard0

Bonsoir.
Fais ce que dit zygomatique, qu'est-ce que ça donne ?
Cordialement.

NB. Intuitivement, si $f$ a une limite $\ell$ strictement positive, en prenant $x$ suffisamment proche de $a$, $f(x) $ sera suffisamment proche de $\ell$ pour être aussi positive. Idem pour $\ell$ négative.

Nasima23

Oui c'est logique ce que vous dites mais le problème c'est que comment on peut le prouver ?
On ne peut pas  montrer que f(x)*l>0 ?!!
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DeGeer

Si $f(x)$ est suffisamment proche de $\ell$ alors les deux seront de même signe puisque $\ell \neq 0$.

Nasima23

DeGeer oui c'est ça je cherche la démonstration svp.
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zygomathique

peux-tu nous écrire la définition de la limite ?

Nasima23

Nasima23

Avec l=f(a)

zygomathique

je ne réponds pas aux messages privé d'aide ...

et tu n'as pas écris la limite demandée et correspondant à la question 1/ : il n'est pas dit que L = f(a)

gebrane

Il n'est pas aussi dit que $l$ est finie

gerard0

Il serait peut-être temps de t'y mettre, Nasima23. De faire ce que Zygomatique t'a proposé. Puis, si tu ne vois vraiment pas, écris ici ce que ça donne.

On peut t'aider, on ne va pas faire ton travail à ta place.

Nasima23

Ici on a lim f(x)=l quand x tend vers a avec l différent de 0 la question est de montrer que f(x) et l ont la même limite.
Vous m'avez dit d'écrire la définition on prenant epsilon = |l|/2 c'est ça ?! Mais je vois le but de cette démarche alors mon problème c-est qu'il faut montrer quoi pour avoir que f et l ont la même limite ?

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Nasima23

Ici on a lim f(x)=l quand x tend vers a avec l différent de 0 la question est de montrer que f(x) et l ont la même limite.

Vous m'avez dit d'écrire la définition on prenant epsilon = |l|/2 c'est ça ?! Mais je vois le but de cette démarche alors mon problème c-est qu'il faut montrer quoi pour avoir que f et l ont la même limite ?

gebrane

Nassima. Ouvre les yeux  $$|f(x)-l|<\epsilon \iff  l-\epsilon<f(x)<l+\epsilon$$

gerard0

"la question est de montrer que f(x) et l ont la même limite." Non !! Ce n'est pas la question.

"have the same sign" veut dire "ont le même signe".

Sinon, $\ell$ est la limite de $f$ en $a$. C'est l'hypothèse de base de l'énoncé.  Alors, oui, $f$ et la fonction constante $x\mapsto \ell$ ont la même limite en $a$, cette limite étant évidemment $\ell$, mais ça ne sert à rien pour l'exercice demandé.

Nasima23

Supposons que \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell \) et \( \ell \neq 0 \). Cela signifie que lorsque \( x \) se rapproche de \( a \), la valeur de \( f(x) \) se rapproche de \( \ell \). 

Puisque \( \ell \) est différent de zéro, cela signifie qu'il est soit positif, soit négatif. Nous allons examiner ces deux cas.

Supposons d'abord que \( \ell \) est positif. Cela signifie que pour une certaine valeur de \( \epsilon > 0 \), peu importe à quel point nous voulons que \( f(x) \) se rapproche de \( \ell \), il existe une valeur de \( \delta > 0 \) telle que si \( 0 < |x-a| < \delta \), alors \( |f(x) - \ell| < \epsilon \). 

Maintenant, supposons que pour certains \( x \) dans cet intervalle \( 0 < |x-a| < \delta \), \( f(x) \) est négatif. Cela signifie que \( f(x) \) s'éloigne de \( \ell \) et devient négatif, ce qui contredirait la définition de la limite. Donc, pour \( 0 < |x-a| < \delta \), \( f(x) \) doit être positif.

De manière similaire, si \( \ell \) est négatif, cela signifie que pour une certaine valeur de \( \epsilon > 0 \), peu importe à quel point nous voulons que \( f(x) \) se rapproche de \( \ell \), il existe une valeur de \( \delta > 0 \) telle que si \( 0 < |x-a| < \delta \), alors \( |f(x) - \ell| < \epsilon \). 

Maintenant, supposons que pour certains \( x \) dans cet intervalle \( 0 < |x-a| < \delta \), \( f(x) \) est positif. Cela signifie que \( f(x) \) s'éloigne de \( \ell \) et devient positif, ce qui contredirait la définition de la limite. Donc, pour \( 0 < |x-a| < \delta \), \( f(x) \) doit être négatif.

Ainsi, dans les deux cas, nous avons montré que pour \( 0 < |x-a| < \delta \), \( f(x) \) et \( \ell \) ont le même signe.

Par conséquent, si \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\ell \) et \( \ell \neq 0 \), alors il existe un nombre \( \delta>0 \) tel que \( \forall x \neq a,\ |x-a|<\delta \Rightarrow f(x) \) et \( \ell \) ont le même signe.

DeGeer

Ta définition de la convergence dans ton troisième paragraphe est problématique : ce n'est pas pour un certain $\varepsilon$ que tu dois écrire la propriété mais pour tout $\varepsilon$. Il faut ensuite choisir judicieusement une valeur de $\varepsilon$ (par exemple celle suggérée par @zygomathique ) pour que $\ell - \varepsilon \leq f(x) \leq \ell + \varepsilon$ et donc que les deux soient de même signe.
Par ailleurs, tu n'as pas besoin de distinguer les cas positif et négatif: tu peux supposer que la limite est positive quitte à remplacer $f$ par $-f$ si ce n'est pas le cas.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Je trouve que le dernier message de @Nasima23 semble la réponse d'une intelligence artificielle. Pas vous ?

gerard0

Et "Nasima" refuse absolument de faire le calcul indiqué (remplacer $\varepsilon$ par $\frac{\ell}2$). Ce que n'importe quel humain peut faire !

Nasima23

J'ai fait le calcul et j'ai trouvé que l/2<f(x)<3l/2
C'est bon 👍
C'était trop simple merci.
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gerard0

Bravo !

gebrane

Et pour l<0, tu trouves quoi @Nasima23 

Soc

De nos jours on repère les IA par l'absence/rareté de fautes de français. Fut un temps c'était l'inverse...

zygomathique

ouais une IA est tout à fait capable de produire ce genre de réponse "automatique" !!!

il est pourtant simple de tracer une droite graduée d'origine O et un point L d'abscisse $ \ell \ne 0$ et de constater qu'entre O et L il y a le milieu K du segment [OL] !!

L2M

Une Intelligence artificielle payante !