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Recherche de contre-exemples

Modifié (November 2023) dans Analyse
Bonjour,
je recherche un contre-exemple qui prouve que la réciproque de 
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers $\ell \in \mathbb{ R}$ avec $u_n$ suite positive implique $(u_n)^{\frac{1}{n}}$ tend vers $\ell$.
Si la réciproque est fausse, ce que je pense.
Merci.

Réponses

  • Il suffit de chercher une suite $x_n$ telle que $\dfrac{x_n}{n}\to 0$ et telle que $x_{n+1}-x_n$ ne tende pas vers $0$. Ensuite, tu prendras $u_n = \exp(x_n)$.
  • Modifié (November 2023)
    $(x_n) $ tel que $x_n=(-1)^n+1$ semble convenir.
    Dans ce cas $u_n=e^{(-1)^n}e$ ?
  • Contre-exemple classique de Cesàro.
  • Avec deux réels $a$ et $b$ strictement positifs distincts, la suite $u$ telle que $u_{2n}=(ab)^n$ et $u_{2n+1}=au_{2n}$.
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