Le point le plus proche

Ludwig
Modifié (November 2023) dans Géométrie
Bonjour,
On se donne une droite $(d)$ et un point $O$ lui appartenant. $A$ et $B$ sont deux points qui varient sur cette droite. On demande une construction à la règle et au compas du point $P$ qui est celui des points $A$ et $B$ le plus proche de $O$.

Le site abraCAdaBRI en propose une : on construit l'image $M$ de $O$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$, on trace le cercle de centre $M$ de rayon $AB$ qui coupe la droite $(d)$ en $N$. On place le milieu $U$ de $[ON]$. Enfin on construit le point $P$ image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OU}$ :

Il y a cependant un problème avec cette façon de faire : le point $N$ n'est pas clairement défini. En effet, laquelle des intersections du cercle avec la droite doit-on prendre ? il se trouve que les logiciels de géométrie prennent toujours celle qui faut quand on clique sur la position symétrique de $O$ par rapport à $M$. Mais la construction échoue si on définit $N$ comme étant ce symétrique...
Une construction non ambiguë existe-t-elle ?

Réponses

  • S0_
    S0_
    Modifié (November 2023)
    Bonjour Ludwig, excuse moi hein.
    Je ne comprends vraiment pas la consigne.
    Pour mon interprétation, je vois qu'on est en train de prendre même chose et on est en train de changer les notations..
    Sinon je voudrais clairement comprendre..
    Bonaventure-S0_
    Cordialement..
  • Non, le point $P$ demandé est tel que $P=A$ si $OA<OB$ et $P=B$ sinon. Bouger $A$ ou $B$ dans la figure jointe (à renommer en .ggb). Une construction de $P$ à la règle et au compas est-elle possible ?
    ppp.txt 12.9K
  • zygomathique
    Modifié (November 2023)
    Salut
    on peut penser que $N$ est le deuxième point d'intersection du cercle et de la droite $(AB)$,
    mais si je comprends bien, on a donc $ \vec {BA} = \vec {OM} = \vec {MN} $
    et donc $U$ est le milieu du segment $[ON]$ ... tout comme $M$ ! !
    Mezalor pourquoi renommer $M$ en $U$ ?
    Et enfin pourquoi considérer cette translation et pas celle de vecteur $ \vec {AB}$ ?

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Ludwig
    Modifié (November 2023)
    Ce n'est pas ça non plus @zygomathique : l'égalité $\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{MN}$ n'est pas toujours vraie, elle dépend du minimum des distances $OA$ et $OB$. Le point $U$ dans cette construction est certes le milieu de $[ON]$, mais $M$ ne l'est pas forcément ! Cela dépend de la même chose. Mais tu as mis le doigt sur quelque chose d'important, à savoir l'orientation de la droite $(d)$. Elle est essentielle, en tous cas pour cette construction. Je signale au passage que la construction du fichier posté ne fonctionne pas lorsque $A$ n'est pas du même côte de $O$ que $B$. Mais c'est un détail.
  • J'insiste : la construction postée est relative à un logiciel de géométrie (à tous en fait). Personne ne sait ce qu'est la "deuxième intersection" d'un cercle et d'une droite. Oubliez cette construction. Faites-en une autre !
  • alors je ne comprends pas car OM = AB est le rayon du cercle donc aussi MN

    mais bon, je n'ai pas fait de figure ggb

    et je subodore aussi qu'effectivement ce n'est pas la même chose si A et B sont de part et d'autre de O

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • S0_
    S0_
    Modifié (November 2023)
    Bonjour Ludwig,
    Je n'ai toujours pas vu le problème,
    Sinon je vois clairement que le second point est bien le point O..
    Intersection d'une droite avec un cercle donne au plus deux points et ici c'est deux points car le rayon est AB et M est un translalé de O de vecteur de même norme que $\vec{BA}$ donc notre droite..
    Cordialement..
  • Le problème est de déterminer la position de $P$ à partir de celles de $A$ et $B$ par rapport à $O$. Une droite croise certes un cercle en deux points max, mais c'est quoi cette histoire de second point ? Des commérages tout au plus.
  • Ben314159
    Modifié (November 2023)
    Salut,
    Si ton logiciel connait la notion de demi droite, il me semble que ça marche en construisant le milieu $M$ de $[AB]$, le cercle centré en $M$ passant par $A$ (et $B$)  puis l'unique point d'intersection de ce cercle avec la demi droite $[MO)$.
    Il peut y avoir un soucis (embêtant ?) lorsque $A=B$  et il y en a évidement un lorsque $A$ et $B$ sont symétrique par rapport à $O$ mais là, c'est normal.
  • Ah oui très bien, merci. Cela fonctionne aussi pour $A=B$, le cercle étant réduit à un point, reconnu en tant que tel par le logiciel.
  • Une application : construction à la règle et au compas du point $H$ appartenant à l'union de trois droites et qui est le plus proche de $M$ :

    La construction échoue si $M$ est sur une des bissectrices, mais en pratique on ne peut pas placer un tel point avec la souris. Cette construction est très utile puisqu'elle ne sert à rien du tout (voir L'utilité de l'inutile, Nuccio Ordine, 2013).
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