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Le(s) théorème(s) de Hahn-Banach

Modifié (November 2023) dans Analyse
Bonsoir
Il est bien connu que le théorème d'Hahn-Banach (seconde forme géométrique) implique le corollaire "Si $F \subset E$ est un sev de $E$ et $\overline{F} \neq E$, alors il existe $u_0 \in E \setminus \overline{F}$ et $L \in L(E, \mathbb{R})$ tel que $L(u_0)=1$ et $\forall u \in F,\ L(u) = 0$."

Est-ce-que c'est un équivalent du théorème ? Mon intuition me dit que non car ça me parait trop restrictif mais je n'ai aucune idée de comment le montrer... en plus, c'est souvent présenté comme le théorème d'Hahn-Banach dans la littérature donc ça n'aide pas trop pour se repérer...

Réponses

  • Je ne sais pas pour la question mais il vaudrait mieux dire « de Hahn-Banach » parce que le h allemand est (fortement) aspiré.
  • Bonjour,
    Tu peux lire la section "Converse" l'article suivant et notamment la dernière phrase : "if X is a TVS then every vector subspace of X has the extension property if and only if every vector subspace of X has the separation property."

    https://en.wikipedia.org/wiki/Hahn–Banach_theorem#Converse
  • le h allemand est (fortement) aspiré ; c'est-à-dire expiré, en fait :). Je ne suis pas spécialiste en phonétique, mais je crois qu'il n'y a guère que le qof des langues sémitiques qui soit plus ou moins aspiré.
  • Modifié (November 2023)
    @Math Coss c'est corrigé.

    @Calli Bonjour, je ne crois pas que ça réponde à ma question, mais c'est moi qui ait été imprécis. On va prendre $E$ e.v.n. pour simplifier. Est-ce que le théorème de séparation avec les formes linéaires est équivalent dans ZF au théorème de séparation avec un hyperplan ? Évidemment, vu qu'ils sont vrais dans ZFC, la réponse est triviale dans ZFC. La phrase que tu cites dit juste que la séparation avec forme linéaire pour tout s.e.v. est équivalente à l'extension pour tout s.e.v. dans un EVT (là où le théorème de séparation de Hahn-Banach peut être faux, mais la forme analytique de Hahn-Banach tient toujours).
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