Suite non majorée

math65
Modifié (November 2023) dans Analyse
Bonjour
Pour résoudre cet exercice, je pense créer la suite
$(v_n) $ telle que $v_n = \sup(u_k \mid k\leq n) $
Je vais montrer que $ (v_n) $ est croissante et non majorée donc converge vers plus l'infini ?
Merci.

Réponses

  • Bonjour
    Le problème est que $(v_n)$ n'est pas une sous-suite.
     
  • zygomathique
    Modifié (November 2023)
    Salut
    1/ rappeler la définition d'une suite non majorée
    2/ considérer la suite d'ensembles $ A_n = \{ u_k \mid k \le n\} $  ou mieux $ B_n = \{u_k  k \ge n\} $ 
    3/ considérer une sous-suite $(v_n)$ convenable à partir des $A_n$ ou des $B_n$.

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • zeitnot
    Modifié (November 2023)
    "donc converge vers plus l'infini "
    Soit elle converge soit elle diverge, mais pas les deux !
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Bonjour,
    Tu quantifies la phrase non majorée et tu construis une sous-suite qui tend vers + l'infini
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • math65
    Modifié (November 2023)
    Non majorée signifie : pour tout $M \in \mathbb{R} $, il existe $n \in \mathbb{N} $ tel que $u_n >M$
    Pour tout $k\in \mathbb{N} $, il existe $n \in \mathbb{N} $ tel que $u_n >k$
    Soit $v_n = \min\{u_k>n \mid k \in\mathbb{N} \} $
    On peut montrer que $v_n$ tend vers l'infini ?
  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    Peux-tu tenir compte de ma première remarque ?
    Car ici tu refais la même erreur.
     
  • bd, je pense qu'il n'a pas compris pourquoi il n'obtenait pas une nécessairement une sous suite ainsi.
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Il faut choisir les indices, pas les termes.
  • Je crois que math65 n'a jamais vu de telle construction.
    Pour M=1; il existe $n_1$ telque $u_{n_1}\geq 1$
    Pour M=2; il existe $n_2$ telque $u_{n_2}\geq 2$
    Pour M=k; il existe $n_k$ telque $u_{n_k}\geq k$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Attention, Gebrane, ta suite $u_{n_k}$ n'est pas nécessairement une sous-suite .... on peut avoir $n_2<n_1$ avec ce que tu as écrit.
    Math65 aurait dû faire des exercices plus élémentaires sur les suites extraites (et les extractrices) avant d'attaquer celui-ci.
    Cordialement.
  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    J’espérais une critique plutôt de de la part de math65

     Ajout Bon, je délivre ma pensée si la suite $u$ est non  majorée, on montre avant par l'absurde  que $\forall M \in \mathbb{R}, \, \forall N \in \mathbb{N}, \, \exists n \geq N, \, u_n \geq M$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • math65
    Modifié (November 2023)
    Soit $k \in \mathbb {N}$, il existe $n>k$ tel que $u_n > u_k$ car $(u_n) $ n'est pas majorée.
    Soit $(v_n) $ une sous suite de $(u_n) $ tel que $v_0=u_0$ et tel que lorsque $v_k=u_n$ avec $n\in \mathbb{N} $  alors $v_{k+1}=u_{l>n} $ et $ u_{l>n}>u_n$.
    $ u_{l>n}$ existe car $(u_n) $ n'est pas majorée.
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    "J’espérais une critique plutôt de de la part de math65 " ?? Son problème, c'est de faire l'exercice, pas de critiquer les réponses malvenues. Ma remarque était aussi une aide pour lui (sans donner un corrigé).
    Cordialement.
  • @PierreCap tu vois. il est comme ça.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • @math65 tu vois. il est comme ça.
  • math65
    Modifié (November 2023)
    Je suppose donc que ma réponse précédente convient. Je n'avais pas pensé qu'une sous-suite doit avoir des termes dans le même ordre que la suite.
  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    Je trouve que ta dernière réponse est incorrecte car indigeste à lire. Toute écriture nébuleuse n'est pas un raisonnement.
     
  • gerard0
    Modifié (November 2023)
    Effectivement,
    une sous-suite  de $u_n$ est une suite $u_{\phi(n)}$ où $\phi$ est une fonction strictement croissante de $\N$ dans $\N$.  L'idée est qu'on va s'en servir quand l'indice tend vers l'infini. C'est donc une suite qui conserve l'ordre relatif des valeurs.
    Ce que tu as rédigé convient bien, à condition de justifier l'existence de $v_{k+1}$, ce qui est simple.
    Cordialement.
  • math65
    Modifié (November 2023)
    @gerard0 $u_{k+1}$ existe car $(u_n) $ n'est pas majorée. Pour $n \in \mathbb{N} $, soit $A=\sup\{u_i \mid  i\leq n\} $, il existe $l>n$ tel que $u_l > A$, $u_{k+1}=u_l$.
  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    Comprenne qui pourra.  $A$ dépend de quoi, de qui?  $n$ dépend de qui ou quoi... Il serait bien de tenir compte des remarques, les miennes , celle aussi  de @zigomathique.... qui sait définir clairement la sous-suite... ce qui n'est pas du tout ton cas. 
     
  • math65
    Modifié (November 2023)
    @bd2017 $A$ dépend de $n$ et $n$ est le rang du terme $u_n$ tel que le terme de rang $k$ de $(v_n) $ est $v_k=u_n$. $u_n$ existe puisque $(v_n)$ est une sous suite de $(u_n)$.
  • Oui je suis d'accord. J'ai bien compris que tu as vu ce qu'il faut faire. Il reste  à donner une rédaction correcte de tout ça.
    Par exemple, pour un $k $ donné,   si tu choisis choisis un  $n>k$  qui satisfait ce que tu veux,  désigne le par la lettre $n_k$  qui rappelle que $n$  dépend de $k.$ A partir cette  remarque tout devient clair et limpide.
     
  • zygomathique
    Modifié (November 2023)
    Pour @math65.
    La suite $ u= (u_n)$ n'est pas majorée : $ \forall M \in \R ,\ \exists n \in \N\mid  u_n \ge M$  (*)
    et si tu prenais $M = u_k$ pour un entier $k$ quelconque ?
    alors (*) devient : $ \forall u_k \in u ,\ \exists n \ge k \mid u_n \ge u_k$  (justifier que ceci définit bien une suite non majorée)
    et là on construit aisément une injection croissante $k \mapsto n_k$ comme celle dont parle @bd2017

    PS : mettre éventuellement une inégalité stricte (pour assurer la non constance de la suite $u$).

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Je développe mon idée
    La suite u est majorée $\iff$ la suite est majorée à partir d'un certain rang $\iff$ $\exists M> 0, \exists N\in\N, \forall n> N, u_n\leq M$
    Donc la suite $u$ est non majorée $\iff$  $\forall  M> 0, \forall N\in\N, \exists n> N,\, u_n> M$ on déduit

    Pour M=1 et N=0; il existe $n_1>0$ telque $u_{n_1}\geq 1$
    Pour M=2 et N =$n_1$ ; il existe $n_2>n_1$ telque $u_{n_2}\geq 2$
    Pour M=k+1 et N =$n_k$; il existe $n_{k+1}>n_k $ telque $u_{n_k}\geq k+1$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • math65
    Modifié (November 2023)
    Je vais prendre la technique de @gebrane. Car on a à faire à une suite qui est minorée par une suite qui tend vers l'infini donc tend aussi vers l'infini.
    @bd2017 je remplace $n$ par $n_k$ dans mon raisonnement.
  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    Oui, et ton $A$  il dépend  de $n_,$  donc de $n$ donc il faut le noter $A_n$. 
     Attention  tout le monde ici a le même raisonnement, y compris @gebrane
    Ce qui compte finalement dans cet exercice c'est la rédaction.
     
  • gebrane
    Modifié (November 2023)
    Voici bd2017 un exemple de rédaction avec une complication exagérée
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • zygomathique
    Modifié (November 2023)
    Soit $v_0 = u_0$
    pour tout entier $k$ supposons avoir construit $v_k = u_{n_k}$ avec $v_0 < v_1 < \dots < v_k$
    soit alors $A_k = \{ u_n \mid n > n_k \} $
    alors : 
    a/ $A_k $ n'est pas vide (à justifier)
    b/ $ \exists u_n \in A_k ,\ u_n > v_k$  (à justifier)
    c/ poser $ v_{k + 1} = u_n$
    d/ conclure

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • math65
    Modifié (November 2023)
    @zygomathique une fois cela montré. Est-on sûr que $(v_n) $ tend vers l'infini ?
  • oui d'après a/ puis b/ puis c/ !!  :D 

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    Attention tout de même. La suite $(v_n)$  est croissante mais ce n'est pas certain  qu'elle tende vers l'infini. 
    Il faut bidouiller un peu, ce qu'avait fait @math65 mais sans l'expliquer clairement. (problème de notation ...)
    Ici  je modifierai  le b)  en disant:   $ \exists u_n \in A_k , u_n > v_k+1.$ 
    Au moins  je suis certain que cela tend vers l'infini car la suite est croissante et la distance entre deux  " $v_n$  consécutifs"   et au moins égale à $1.$ 
    Maintenant on a la solution avec une rédaction satisfaisante (à mon avis), ce  qui plaira à @gebrane.  
     
  • Sans te mentir bd2017,  je préfère la mienne. Elle est moins compliquée et je la conseille à math65
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • bd2017
    Modifié (November 2023)
    @Gebrane je conseille à @math65 de rédiger correctement  sa  démonstration.
    Quant à la tienne, ce n'est qu'une variante et il y a une redondance dans ta récurrence (il y a une ligne à supprimer).
     
  • @bd2017 : merci :smile:

    effectivement la suite (v_n) peut être croissante de "façon asymptotique" et imposer un pas "non négligeable" de 1 suffit maintenant pour obtenir la conclusion

    merci

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Je suis d'accord, il vaut mieux qu'il rédige sa propre démonstration
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • math65
    Modifié (November 2023)
    @zygomathique a) $A_k$ est non vide car $(u_n)$ est une suite définie à partir du rang $0$. Donc pour tout $n \in \mathbb{N} $, $u_n$ existe.
    b) Supposons par l'absurde que $A_k$ est majoré.
    Puisque $\{u_n \mid n \leq n_k \} $ est majoré alors $\{u_n \mid n \leq n_k \} \bigcup A_k$ serait majoré. Cela est absurde car $(u_n) $ est non majorée.
    $A_k$ est non majoré. Donc il existe $u_n \in A_k$ tel que $u_n > v_k$.
  • a/ : non : 

    (par définition de A_k) A_k n'est pas vide parce que la suite u n'est pas majorée donc quel que soit le terme u_n il en existe au moins un (strictement) plus grand (et même d'au moins 1 : voir remarque de @bd2017)

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • @zygomathique pour a), je ne suis pas d'accord.
    $A_k$ est l'ensemble des termes de $u_n$ à partir du rang $n_k$ exclus. Il n'y a pas besoin que $(u_n) $ soit non majoré pour que $A_k$ soit non vide ?
  • oui effectivement : je me suis mélangé les pinceaux entre les diverses définitions d'ensembles

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

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