Suite non majorée
Réponses
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BonjourLe problème est que $(v_n)$ n'est pas une sous-suite.
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Salut
1/ rappeler la définition d'une suite non majorée
2/ considérer la suite d'ensembles $ A_n = \{ u_k \mid k \le n\} $ ou mieux $ B_n = \{u_k k \ge n\} $
3/ considérer une sous-suite $(v_n)$ convenable à partir des $A_n$ ou des $B_n$.Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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"donc converge vers plus l'infini "Soit elle converge soit elle diverge, mais pas les deux !Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
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Bonjour,
Tu quantifies la phrase non majorée et tu construis une sous-suite qui tend vers + l'infiniLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Non majorée signifie : pour tout $M \in \mathbb{R} $, il existe $n \in \mathbb{N} $ tel que $u_n >M$Pour tout $k\in \mathbb{N} $, il existe $n \in \mathbb{N} $ tel que $u_n >k$
Soit $v_n = \min\{u_k>n \mid k \in\mathbb{N} \} $
On peut montrer que $v_n$ tend vers l'infini ? -
Peux-tu tenir compte de ma première remarque ?
Car ici tu refais la même erreur. -
bd, je pense qu'il n'a pas compris pourquoi il n'obtenait pas une nécessairement une sous suite ainsi.
Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$ -
Il faut choisir les indices, pas les termes.
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Je crois que math65 n'a jamais vu de telle construction.
Pour M=1; il existe $n_1$ telque $u_{n_1}\geq 1$
Pour M=2; il existe $n_2$ telque $u_{n_2}\geq 2$
Pour M=k; il existe $n_k$ telque $u_{n_k}\geq k$
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Attention, Gebrane, ta suite $u_{n_k}$ n'est pas nécessairement une sous-suite .... on peut avoir $n_2<n_1$ avec ce que tu as écrit.Math65 aurait dû faire des exercices plus élémentaires sur les suites extraites (et les extractrices) avant d'attaquer celui-ci.Cordialement.
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J’espérais une critique plutôt de de la part de math65Ajout Bon, je délivre ma pensée si la suite $u$ est non majorée, on montre avant par l'absurde que $\forall M \in \mathbb{R}, \, \forall N \in \mathbb{N}, \, \exists n \geq N, \, u_n \geq M$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Soit $k \in \mathbb {N}$, il existe $n>k$ tel que $u_n > u_k$ car $(u_n) $ n'est pas majorée.Soit $(v_n) $ une sous suite de $(u_n) $ tel que $v_0=u_0$ et tel que lorsque $v_k=u_n$ avec $n\in \mathbb{N} $ alors $v_{k+1}=u_{l>n} $ et $ u_{l>n}>u_n$.$ u_{l>n}$ existe car $(u_n) $ n'est pas majorée.
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"J’espérais une critique plutôt de de la part de math65 " ?? Son problème, c'est de faire l'exercice, pas de critiquer les réponses malvenues. Ma remarque était aussi une aide pour lui (sans donner un corrigé).
Cordialement. -
@PierreCap tu vois. il est comme ça.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Je suppose donc que ma réponse précédente convient. Je n'avais pas pensé qu'une sous-suite doit avoir des termes dans le même ordre que la suite.
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Je trouve que ta dernière réponse est incorrecte car indigeste à lire. Toute écriture nébuleuse n'est pas un raisonnement.
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Effectivement,
une sous-suite de $u_n$ est une suite $u_{\phi(n)}$ où $\phi$ est une fonction strictement croissante de $\N$ dans $\N$. L'idée est qu'on va s'en servir quand l'indice tend vers l'infini. C'est donc une suite qui conserve l'ordre relatif des valeurs.Ce que tu as rédigé convient bien, à condition de justifier l'existence de $v_{k+1}$, ce qui est simple.Cordialement. -
Comprenne qui pourra. $A$ dépend de quoi, de qui? $n$ dépend de qui ou quoi... Il serait bien de tenir compte des remarques, les miennes , celle aussi de @zigomathique.... qui sait définir clairement la sous-suite... ce qui n'est pas du tout ton cas.
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Oui je suis d'accord. J'ai bien compris que tu as vu ce qu'il faut faire. Il reste à donner une rédaction correcte de tout ça.Par exemple, pour un $k $ donné, si tu choisis choisis un $n>k$ qui satisfait ce que tu veux, désigne le par la lettre $n_k$ qui rappelle que $n$ dépend de $k.$ A partir cette remarque tout devient clair et limpide.
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Pour @math65.
La suite $ u= (u_n)$ n'est pas majorée : $ \forall M \in \R ,\ \exists n \in \N\mid u_n \ge M$ (*)
et si tu prenais $M = u_k$ pour un entier $k$ quelconque ?
alors (*) devient : $ \forall u_k \in u ,\ \exists n \ge k \mid u_n \ge u_k$ (justifier que ceci définit bien une suite non majorée)
et là on construit aisément une injection croissante $k \mapsto n_k$ comme celle dont parle @bd2017
PS : mettre éventuellement une inégalité stricte (pour assurer la non constance de la suite $u$).Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Je développe mon idée
La suite u est majorée $\iff$ la suite est majorée à partir d'un certain rang $\iff$ $\exists M> 0, \exists N\in\N, \forall n> N, u_n\leq M$
Donc la suite $u$ est non majorée $\iff$ $\forall M> 0, \forall N\in\N, \exists n> N,\, u_n> M$ on déduitPour M=1 et N=0; il existe $n_1>0$ telque $u_{n_1}\geq 1$Pour M=2 et N =$n_1$ ; il existe $n_2>n_1$ telque $u_{n_2}\geq 2$Pour M=k+1 et N =$n_k$; il existe $n_{k+1}>n_k $ telque $u_{n_k}\geq k+1$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Soit $v_0 = u_0$
pour tout entier $k$ supposons avoir construit $v_k = u_{n_k}$ avec $v_0 < v_1 < \dots < v_k$
soit alors $A_k = \{ u_n \mid n > n_k \} $
alors :
a/ $A_k $ n'est pas vide (à justifier)
b/ $ \exists u_n \in A_k ,\ u_n > v_k$ (à justifier)
c/ poser $ v_{k + 1} = u_n$
d/ conclureCe ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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@zygomathique une fois cela montré. Est-on sûr que $(v_n) $ tend vers l'infini ?
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oui d'après a/ puis b/ puis c/ !!
Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Attention tout de même. La suite $(v_n)$ est croissante mais ce n'est pas certain qu'elle tende vers l'infini.Il faut bidouiller un peu, ce qu'avait fait @math65 mais sans l'expliquer clairement. (problème de notation ...)Ici je modifierai le b) en disant: $ \exists u_n \in A_k , u_n > v_k+1.$Au moins je suis certain que cela tend vers l'infini car la suite est croissante et la distance entre deux " $v_n$ consécutifs" et au moins égale à $1.$Maintenant on a la solution avec une rédaction satisfaisante (à mon avis), ce qui plaira à @gebrane.
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Sans te mentir bd2017, je préfère la mienne. Elle est moins compliquée et je la conseille à math65Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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@bd2017 : merci
effectivement la suite (v_n) peut être croissante de "façon asymptotique" et imposer un pas "non négligeable" de 1 suffit maintenant pour obtenir la conclusion
merciCe ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Je suis d'accord, il vaut mieux qu'il rédige sa propre démonstration
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
@zygomathique a) $A_k$ est non vide car $(u_n)$ est une suite définie à partir du rang $0$. Donc pour tout $n \in \mathbb{N} $, $u_n$ existe.b) Supposons par l'absurde que $A_k$ est majoré.Puisque $\{u_n \mid n \leq n_k \} $ est majoré alors $\{u_n \mid n \leq n_k \} \bigcup A_k$ serait majoré. Cela est absurde car $(u_n) $ est non majorée.
$A_k$ est non majoré. Donc il existe $u_n \in A_k$ tel que $u_n > v_k$. -
a/ : non :
(par définition de A_k) A_k n'est pas vide parce que la suite u n'est pas majorée donc quel que soit le terme u_n il en existe au moins un (strictement) plus grand (et même d'au moins 1 : voir remarque de @bd2017)Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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@zygomathique pour a), je ne suis pas d'accord.$A_k$ est l'ensemble des termes de $u_n$ à partir du rang $n_k$ exclus. Il n'y a pas besoin que $(u_n) $ soit non majoré pour que $A_k$ soit non vide ?
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oui effectivement : je me suis mélangé les pinceaux entre les diverses définitions d'ensembles
Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
Bonjour!
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