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Suite non majorée

Modifié (November 2023) dans Analyse
Bonjour
Pour résoudre cet exercice, je pense créer la suite
$(v_n) $ telle que $v_n = \sup(u_k \mid k\leq n) $
Je vais montrer que $ (v_n) $ est croissante et non majorée donc converge vers plus l'infini ?
Merci.

Réponses

  • Bonjour
    Le problème est que $(v_n)$ n'est pas une sous-suite.
     
  • Modifié (November 2023)
    Salut
    1/ rappeler la définition d'une suite non majorée
    2/ considérer la suite d'ensembles $ A_n = \{ u_k \mid k \le n\} $  ou mieux $ B_n = \{u_k  k \ge n\} $ 
    3/ considérer une sous-suite $(v_n)$ convenable à partir des $A_n$ ou des $B_n$.

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Modifié (November 2023)
    "donc converge vers plus l'infini "
    Soit elle converge soit elle diverge, mais pas les deux !
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Bonjour,
    Tu quantifies la phrase non majorée et tu construis une sous-suite qui tend vers + l'infini
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Non majorée signifie : pour tout $M \in \mathbb{R} $, il existe $n \in \mathbb{N} $ tel que $u_n >M$
    Pour tout $k\in \mathbb{N} $, il existe $n \in \mathbb{N} $ tel que $u_n >k$
    Soit $v_n = \min\{u_k>n \mid k \in\mathbb{N} \} $
    On peut montrer que $v_n$ tend vers l'infini ?
  • Modifié (November 2023)
    Peux-tu tenir compte de ma première remarque ?
    Car ici tu refais la même erreur.
     
  • bd, je pense qu'il n'a pas compris pourquoi il n'obtenait pas une nécessairement une sous suite ainsi.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Il faut choisir les indices, pas les termes.
  • Je crois que math65 n'a jamais vu de telle construction.
    Pour M=1; il existe $n_1$ telque $u_{n_1}\geq 1$
    Pour M=2; il existe $n_2$ telque $u_{n_2}\geq 2$
    Pour M=k; il existe $n_k$ telque $u_{n_k}\geq k$
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Attention, Gebrane, ta suite $u_{n_k}$ n'est pas nécessairement une sous-suite .... on peut avoir $n_2<n_1$ avec ce que tu as écrit.
    Math65 aurait dû faire des exercices plus élémentaires sur les suites extraites (et les extractrices) avant d'attaquer celui-ci.
    Cordialement.
  • Modifié (November 2023)
    J’espérais une critique plutôt de de la part de math65

     Ajout Bon, je délivre ma pensée si la suite $u$ est non  majorée, on montre avant par l'absurde  que $\forall M \in \mathbb{R}, \, \forall N \in \mathbb{N}, \, \exists n \geq N, \, u_n \geq M$
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Soit $k \in \mathbb {N}$, il existe $n>k$ tel que $u_n > u_k$ car $(u_n) $ n'est pas majorée.
    Soit $(v_n) $ une sous suite de $(u_n) $ tel que $v_0=u_0$ et tel que lorsque $v_k=u_n$ avec $n\in \mathbb{N} $  alors $v_{k+1}=u_{l>n} $ et $ u_{l>n}>u_n$.
    $ u_{l>n}$ existe car $(u_n) $ n'est pas majorée.
  • Modifié (November 2023)
    "J’espérais une critique plutôt de de la part de math65 " ?? Son problème, c'est de faire l'exercice, pas de critiquer les réponses malvenues. Ma remarque était aussi une aide pour lui (sans donner un corrigé).
    Cordialement.
  • @PierreCap tu vois. il est comme ça.
    Le 😄 Farceur


  • @math65 tu vois. il est comme ça.
  • Modifié (November 2023)
    Je suppose donc que ma réponse précédente convient. Je n'avais pas pensé qu'une sous-suite doit avoir des termes dans le même ordre que la suite.
  • Modifié (November 2023)
    Je trouve que ta dernière réponse est incorrecte car indigeste à lire. Toute écriture nébuleuse n'est pas un raisonnement.
     
  • Modifié (November 2023)
    Effectivement,
    une sous-suite  de $u_n$ est une suite $u_{\phi(n)}$ où $\phi$ est une fonction strictement croissante de $\N$ dans $\N$.  L'idée est qu'on va s'en servir quand l'indice tend vers l'infini. C'est donc une suite qui conserve l'ordre relatif des valeurs.
    Ce que tu as rédigé convient bien, à condition de justifier l'existence de $v_{k+1}$, ce qui est simple.
    Cordialement.
  • Modifié (November 2023)
    @gerard0 $u_{k+1}$ existe car $(u_n) $ n'est pas majorée. Pour $n \in \mathbb{N} $, soit $A=\sup\{u_i \mid  i\leq n\} $, il existe $l>n$ tel que $u_l > A$, $u_{k+1}=u_l$.
  • Modifié (November 2023)
    Comprenne qui pourra.  $A$ dépend de quoi, de qui?  $n$ dépend de qui ou quoi... Il serait bien de tenir compte des remarques, les miennes , celle aussi  de @zigomathique.... qui sait définir clairement la sous-suite... ce qui n'est pas du tout ton cas. 
     
  • Modifié (November 2023)
    @bd2017 $A$ dépend de $n$ et $n$ est le rang du terme $u_n$ tel que le terme de rang $k$ de $(v_n) $ est $v_k=u_n$. $u_n$ existe puisque $(v_n)$ est une sous suite de $(u_n)$.
  • Oui je suis d'accord. J'ai bien compris que tu as vu ce qu'il faut faire. Il reste  à donner une rédaction correcte de tout ça.
    Par exemple, pour un $k $ donné,   si tu choisis choisis un  $n>k$  qui satisfait ce que tu veux,  désigne le par la lettre $n_k$  qui rappelle que $n$  dépend de $k.$ A partir cette  remarque tout devient clair et limpide.
     
  • Modifié (November 2023)
    Pour @math65.
    La suite $ u= (u_n)$ n'est pas majorée : $ \forall M \in \R ,\ \exists n \in \N\mid  u_n \ge M$  (*)
    et si tu prenais $M = u_k$ pour un entier $k$ quelconque ?
    alors (*) devient : $ \forall u_k \in u ,\ \exists n \ge k \mid u_n \ge u_k$  (justifier que ceci définit bien une suite non majorée)
    et là on construit aisément une injection croissante $k \mapsto n_k$ comme celle dont parle @bd2017

    PS : mettre éventuellement une inégalité stricte (pour assurer la non constance de la suite $u$).

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Je développe mon idée
    La suite u est majorée $\iff$ la suite est majorée à partir d'un certain rang $\iff$ $\exists M> 0, \exists N\in\N, \forall n> N, u_n\leq M$
    Donc la suite $u$ est non majorée $\iff$  $\forall  M> 0, \forall N\in\N, \exists n> N,\, u_n> M$ on déduit

    Pour M=1 et N=0; il existe $n_1>0$ telque $u_{n_1}\geq 1$
    Pour M=2 et N =$n_1$ ; il existe $n_2>n_1$ telque $u_{n_2}\geq 2$
    Pour M=k+1 et N =$n_k$; il existe $n_{k+1}>n_k $ telque $u_{n_k}\geq k+1$
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Je vais prendre la technique de @gebrane. Car on a à faire à une suite qui est minorée par une suite qui tend vers l'infini donc tend aussi vers l'infini.
    @bd2017 je remplace $n$ par $n_k$ dans mon raisonnement.
  • Modifié (November 2023)
    Oui, et ton $A$  il dépend  de $n_,$  donc de $n$ donc il faut le noter $A_n$. 
     Attention  tout le monde ici a le même raisonnement, y compris @gebrane
    Ce qui compte finalement dans cet exercice c'est la rédaction.
     
  • Modifié (November 2023)
    Voici bd2017 un exemple de rédaction avec une complication exagérée
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Soit $v_0 = u_0$
    pour tout entier $k$ supposons avoir construit $v_k = u_{n_k}$ avec $v_0 < v_1 < \dots < v_k$
    soit alors $A_k = \{ u_n \mid n > n_k \} $
    alors : 
    a/ $A_k $ n'est pas vide (à justifier)
    b/ $ \exists u_n \in A_k ,\ u_n > v_k$  (à justifier)
    c/ poser $ v_{k + 1} = u_n$
    d/ conclure

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Modifié (November 2023)
    @zygomathique une fois cela montré. Est-on sûr que $(v_n) $ tend vers l'infini ?
  • oui d'après a/ puis b/ puis c/ !!  :D 

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Modifié (November 2023)
    Attention tout de même. La suite $(v_n)$  est croissante mais ce n'est pas certain  qu'elle tende vers l'infini. 
    Il faut bidouiller un peu, ce qu'avait fait @math65 mais sans l'expliquer clairement. (problème de notation ...)
    Ici  je modifierai  le b)  en disant:   $ \exists u_n \in A_k , u_n > v_k+1.$ 
    Au moins  je suis certain que cela tend vers l'infini car la suite est croissante et la distance entre deux  " $v_n$  consécutifs"   et au moins égale à $1.$ 
    Maintenant on a la solution avec une rédaction satisfaisante (à mon avis), ce  qui plaira à @gebrane.  
     
  • Sans te mentir bd2017,  je préfère la mienne. Elle est moins compliquée et je la conseille à math65
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    @Gebrane je conseille à @math65 de rédiger correctement  sa  démonstration.
    Quant à la tienne, ce n'est qu'une variante et il y a une redondance dans ta récurrence (il y a une ligne à supprimer).
     
  • @bd2017 : merci :smile:

    effectivement la suite (v_n) peut être croissante de "façon asymptotique" et imposer un pas "non négligeable" de 1 suffit maintenant pour obtenir la conclusion

    merci

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • Je suis d'accord, il vaut mieux qu'il rédige sa propre démonstration
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    @zygomathique a) $A_k$ est non vide car $(u_n)$ est une suite définie à partir du rang $0$. Donc pour tout $n \in \mathbb{N} $, $u_n$ existe.
    b) Supposons par l'absurde que $A_k$ est majoré.
    Puisque $\{u_n \mid n \leq n_k \} $ est majoré alors $\{u_n \mid n \leq n_k \} \bigcup A_k$ serait majoré. Cela est absurde car $(u_n) $ est non majorée.
    $A_k$ est non majoré. Donc il existe $u_n \in A_k$ tel que $u_n > v_k$.
  • a/ : non : 

    (par définition de A_k) A_k n'est pas vide parce que la suite u n'est pas majorée donc quel que soit le terme u_n il en existe au moins un (strictement) plus grand (et même d'au moins 1 : voir remarque de @bd2017)

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • @zygomathique pour a), je ne suis pas d'accord.
    $A_k$ est l'ensemble des termes de $u_n$ à partir du rang $n_k$ exclus. Il n'y a pas besoin que $(u_n) $ soit non majoré pour que $A_k$ soit non vide ?
  • oui effectivement : je me suis mélangé les pinceaux entre les diverses définitions d'ensembles

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

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