Fonction continue ?

michal

Bonjour
Je sèche sur l'exo suivant. 

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $u : E \rightarrow F$ une fonction. On suppose que l'image directe par $u$ de tout compact de $E$ est un compact de $F$ et que $u^{-1}(\{a\})$ est un fermé pour tout $a\in F$. Montrer que $u$ est continue.

Merci d'avance pour vos idées, 
Michal

JLapin

Utilise la caractérisation séquentielle et le fait que si $(u_n)$ est une suite convergente de limite $\ell$, alors $A=\{u_n\mid n\in\N\}\cup \{\ell\}$ est un compact (il est facile de vérifier que si $(\Omega_i)$ est une famille d'ouverts qui recouvre cet ensemble, l'un de ces ouverts contient $\ell$ donc contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Il ne reste qu'un nombre fini d'ouverts à considérer pour contenir le nombre fini de termes de la suite qu'il reste).

Si tu n'as pas accès à Borel-Lebesgue, tu peux prendre une suite $(x_k)$ d'éléments de $A$ et discuter si oui ou non, $\ell$ est valeur d'adhérence de cette suite. Il reste alors un peu de travail à faire...

gebrane

Il y a une preuve ici avec des espaces plus généraux. Je ne maîtrise pas les filtres. Un handicap. 

raoul.S

Voici une autre preuve du cas plus général dont parle gebrane ci-dessus : soient $X,Y$ deux compacts et $f:X\to Y$ telle que $f^{-1}(y)$ est fermé pour tout $y\in Y$ et telle que $f(K)$ est compact pour tout compact $K\subset X$ alors $f$ est continue.

Preuve :

Il suffit de montrer que le graphe de $f$ est fermé (voir mon lemme ICI , je me fais de la pub )
soit donc $(x,y)\not\in \Gamma_f$ où $\Gamma_f$ est le graphe de $f$. Le sous ensemble $f^{-1}(y)$ est fermé et ne contient pas $x$, par conséquent il existe un voisinage $V_x$ de $x$ tel que $V_x\cap f^{-1}(y)=\emptyset$ et vu que $X$ est compact (donc localement compact) on peut supposer que $V_x$ est compact. Par construction, $y\not\in f(V_x)$. Mais $f(V_x)$ est compact donc fermé et par suite $O_y:=Y\setminus f(V_x)$ est un voisinage ouvert de $y$. Ainsi, $V_x\times O_y$ est un voisinage de $(x,y)$ qui ne rencontre pas $\Gamma_f$. Donc $\Gamma_f$ est fermé.

C'est plus général que l'exo ci-dessus, en effet il suffit ensuite d'appliquer cette prop à $X:=\{u_n\mid n\in\N\}\cup \{\ell\}$ en reprenant les notations de JLapin.

gebrane

Tu es diabolique @raoul-s, tu fais de l'art. 
Sais-tu que je compte depuis le 6 août les jours un par un en attendant que tu révèles la réciprocité du lemme   

raoul.S

Mouha la réciproque je la laisse en exo...

gebrane

Mais raoul-s, je bloque en mode Oshine.
Les généralisations, c'est bien. Mais si on se restreint à $E=F=\mathbb{R}$, est-ce que quelqu'un a une preuve très simple dans ce cas particulier ?. Je cherche.

Georges Abitbol

Gebrane, c’est vrai ? Tu ne sais pas démontrer que le graphe d’une application continue définie sur un compact à valeurs dans un espace séparé est fermé ?

Tu sais qu’un produit d’espaces séparés est séparé ?

Tu sais que pour une application continue $f : X\rightarrow Y$, l’application $x\mapsto (x,f(x))$ est continue ?

Tu sais qu’une partie compacte d’un espace séparé est fermée ?

gebrane

Bonsoir @Georges Abitbol Comme d'habitude,  je taquinais raoul.
Mais je ne comprends pas ta proposition : 
Le graphe d’une application continue définie sur un compact à valeurs dans un espace séparé est fermé . Pourquoi as-tu besoin de la compacité? On démontre bien que : le graphe de toute application continue d'un espace topologique quelconque X dans un espace séparé Y est toujours fermé dans X×Y. Tu peux trouver cet énoncé  sur WIKI  sans preuve. Si tu veux une preuve, je te donne une 

raoul.S

gebrane a dit : 
est-ce que quelqu'un a une preuve très simple dans ce cas particulier ?

Je ne crois pas que l'on puisse faire plus simple que ce que propose JLapin.

gebrane

raoul-s, on a déjà comme gratuit,  la compacité $A = \{u_n \mid n \in \N\} \cup \{\ell\}$ comme un fermé borné   de $\R$ , et J lapin n'a pas précisé la suite de son raisonnement pour faire travailler l 'OP

john_john

La définition de la compacité par les familles d'ouverts couvrant la partie est-elle encore enseignée en L1/L2/L3/Spé ? Sinon, on peut aussi remarquer que dans $\R$, l'ensemble des $1/n$ uni à $\{0\}$ est fermé borné et donc compact et que, dans un métrique, si $(x_n)$ est une suite de limite $\ell$, alors  l'ensemble des $u_n$ uni à $\{\ell\}$ en est l'image par l'application continue qui à $1/n$ associe $x_n$ et à $0$ associe $\ell$.

Georges Abitbol

@gebrane : Ce n'est pas moi qui ai besoin de la compacité, c'est ma démonstration qui en a besoin

Je me disais bien que ça m'étonnait un peu que tu ne saches pas ça.

gebrane

Bonjour @john_john
Dans le cas d'un espace métrique $E$, on peut utiliser le fait qu'un espace métrique est compact si et seulement si toute suite de points de $E$ permet d'extraire une sous-suite convergente vers un point de $E$.
Si une suite $u$ converge vers $l$, on peut montrer que l'ensemble $A$ formé par la suite union sa limite est compact en extrayant la sous-suite $w$ d'une suite $v$ de $A$ de la manière suivante.
Si la suite $v$ contient un nombre fini de termes, on pose $w$ la sous-suite constante égale à l  .
Sinon, soit la sous-suite $w$ définie par pour chaque p dans $\N$, $w_p$ est le premier des termes  de $\{v_p, v_{p+1}, ...\}$ qui appartient à $\{u_p, u_{p+1}, \dots\}$  La sous-suite $w$ converge bien vers la limite.

gebrane

Bonjour @Georges Abitbol  Dans ce forum , moi et raoul-s, on partage une complicité spéciale :  une compréhension mutuelle, une harmonie, et surtout  un partage d'humour.   N'est ce pas @raoul-s

JLapin

la compacité A={un∣n∈N}∪{ℓ} comme un fermé borné   de R

Ce n'est pas si facile de montrer que $A$ est un fermé de $\R$ en fait.

raoul.S

Disons que c'est peut-être plus simple d'écrire que le complémentaire est ouvert.

Georges Abitbol

La petite graine de l'amour flamboie sur le forum !

gebrane

Bonjour @JLapin, en fait la fermeture de A était un exercice de TD de mon Li ( on avait pas encore vu la compacité)

Si $(y_k)$ est une suite d’éléments de $A$ ayant  une limite $y$, montrons que $y\in A$.

 Comme dans le message  on peut extraire une suite $(y_{\sigma(k)})$ de $(y_k)$ telle que

$\forall k, y_{\sigma(k)} \in {u_k}$ et $\sigma$ est strictement croissante

$(y_{\sigma(k)})$ est  une sous-suite de $(u_k)$, donc sa limite est $l$, d'où $y=\lim_{k\to\infty} y_k = \lim_{k\to\infty} y_{\sigma(k)} = l \in A$.

C'est après le message de john que je me suis rendu compte que cette preuve démontre la compacité séquentielle dans un espace
 métrique .

L'idée de raoul-s est meilleure en montrant que $A^c$ est un ouvert ;

puisque la suite u est de limite $l$,  il y a une infinité de termes de la suite autour de $l$. Par conséquent, pour tout point  $a\in A^c$, il existe un voisinage ouvert de ce point qui a au plus un nombre fini d’éléments de $A$, donc on peut  trouver un voisinage ouvert qui ne contient aucun élément de $A$ . donc $A^c$ est ouvert

JLapin peux-tu donner la suite de ton raisonnement après avoir démontrer que A est un compact 

raoul.S

Je ne sais pas si JLapin pensait à autre chose mais voici quelques indications supplémentaires sans donner la réponse à michal (je ne sais pas s'il cherche encore...).
- Montrer que la suite $u(u_n)$ possède au moins une valeur d'adhérence.
- La suite $u(u_n)$ possède au plus une valeur d'adhérence qui est $u(\ell)$. Pour le montrer, supposer que $v\neq u(\ell)$ est une valeur d'adhérence, considérer le fermé $u^{-1}(v)$ et aboutir à une contradiction.

john_john

On a d'ailleurs une version simplifiée de l'exercice, et qui se traite grâce au même principe : si $f$ est une fonction de $\R$ dans $\R$ envoyant tout intervalle sur un intervalle et telle que l'image réciproque de tout singleton soit fermée, alors $f$ est continue.
On peut, auparavant, faire considérer la fonction qui à $0$ associe $0$ et à $x\neq0$ associe $\sin\displaystyle\frac1x$ pour montrer l'intérêt de la seconde hypothèse.

gebrane

Bonjour raoul-s, je ne comprends pas pourquoi as-tu besoin de démontrer ce point : Montrer que la suite u(un)  possède au moins une valeur d'adhérence.
Car si une suite $(x_n)$ d’éléments dans un compact
alors $(x_n)$ est convergente ssi $(x_n)$ a au plus une valeur d’adhérence.
La suite $u(u_n)$ est d’éléments dans un compact puisque u(A) est un compact .

Ton deuxième point suffit : La suite u(un) possède au plus une valeur d'adhérence qui est u(ℓ)

raoul.S

Oui mais je me suis dit que les indications pourraient servir à michal (je ne connais pas son niveau) et qu'il fallait justifier ce point en disant que la suite était dans un compact.

gebrane

Oui, tu as tout à fait raison ,  on ne connait pas son niveau