Caractérisation de matrice — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Caractérisation de matrice

Bonjour,

je cherche à montrer l'implication : $AX>0\Rightarrow X>0$

$A=\left[ \begin{matrix}4&-1&0&0\\ -1&2&-1&0\\ 0&-1&2&-1\\ 0&0&-1&4\end{matrix} \right] $ et $X=\left[ x/3,\  y,\  z,\  t/3\right]  $

Donc en premier, je faut-il bien montrer que : $\frac{4}{3} x-y>0\Rightarrow (x,y)>0$ ?

Etc ...

Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Bonjour, C'est pas clair la question.  Que veut dire $A.X >0?$ Chaque composante  de $AX$  est positive strictement. 
    Si oui l'exercice est banal:  on pose $AX=(s_1,s_2,s_3,s_4)^T$  avec  $s_i>0,i=1,\dots,4$
    Alors $X=A^{-1} (s_1,s_2,s_3,s_4)=(x/3, y,z,t/3)^T$    On fait le calcul et on doit s'apercevoir que chaque composante de $X$  est une combinaison linéaire des $s_i$ dont chaque coefficient est $>0.$ 
    Sinon, je ne comprends pas la question.
     
  • Modifié (November 2023)
    Oui c'est bien que chaque composante est positive strictement. 
    Il faut donc utiliser la matrice inverse ?
    Je voulais utiliser cette propriété pour montrer qu'elle est inversible. 
  • Modifié (November 2023)
    L'invisibilité de quoi ?  Qu'est-ce qu'on ne peut pas voir ?
     
  • Modifié (November 2023)
    ops ! J'ai corrigé. 
  • Modifié (November 2023)
    Il faut toujours annoncer le but de la question. Car ma réponse devient obsolète...
    Pour l'inversibilité de $A,$  on n'est pas à court  de méthodes.  Pourquoi chercher compliqué alors qu'on peut faire simple ? 
    Ici le déterminant  est facile à calculer.  Tu peux aussi résoudre $AX =0.$
     
  • Modifié (November 2023)
    Parce que je voulais étudier la question avec un ordre réduit. La matrice que je cherche à étudier est  : 

    $A=\frac{1}{h^{2}} \left[ \begin{matrix}1+h&-1&0&...&0&0\\ -1&2&-1&...&0&0\\ 0&-1&2&...&0&0\\ ...&...&...&...&...&...\\ 0&0&...&-1&2&-1\\ 0&0&...&0&-1&1+h\end{matrix} \right]  $. et $X=\left[ \begin{matrix}u_{0}/h\\ u_{1}\\ u_{2}\\ ..\\ u_{N-1}\\ u_{N}\\ u_{N+1}/h\end{matrix} \right]  $

    Et donc monter $(AX>0)\Rightarrow (X>0)$ Composante par composante. (avec h positif)
  • Modifié (November 2023)
    Rebonjour 
    Je pense $h>0. $ (sinon pb) 
    La  matrice est symétrique et à diagonale dominante, mais pas strictement dominante (voir le  théorème de Gerschgorin-Hadamard.) 
    Donc touts les valeurs propres sont réelles  et supérieures ou égales  à zéro. 
    On pose $A=A(h)$  et en particulier $A(0)=A_0.$
    La matrice $A_0$  a aussi, toutes ses valeurs propres positives  et il est facile de  voir que $0$  est valeur propre. 
    $A_0$  est positive  (mais non définie  positive). 
    Néanmoins  on a $\forall X, X^tA_0 X\geq 0.$
    Supposons qu'il existe $X\neq 0$  tel que $A(h)X := AX=0$
    On a  $AX= A_0 X +h (x_1,0,....,0,x_n)^t =0 $
    D'où  $0=X^t A X=X^tA_0 X + h (x_1 ^2+x_n^2) \geq h (x_1 ^2+x_n^2) . $
    Ce qui implique $x_1=x_n=0$..... Le plus difficile est fait, je te laisse finir pour voir la contradiction.
     
  • C'est une matrice tridiagonale, son déterminant vérifie une récurrence linéaire d'ordre 2.
    Le 😄 Farceur


Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!