Unital modules

AssilA

Bonsoir, besoin de votre aide svp !

J'ai trouvé au début d'un article "In what follows rings are unitary and module are unital"

rings are unitary signifie que les anneaux sont unitaires, mais je ne comprends pas ce que ça veut dire "module are unital"? est-ce que ça veut dire les modules sont unitaires ? si oui, cela signifie quoi ?

Merci.

Thierry Poma

Bonsoir

Suivre par exemple ceci...

Thierry Poma

Nous pouvons y lire ce qui suit, en particulier :

Math Coss

En bref : $1\cdot m=m$ pour tout $m$ dans le module, où $1$ est l'unité de l'anneau.

AssilA

Thierry Poma  Math Coss

1) C'est quoi le mot "unital module" en français ? on dit modules unitaires ?

2) Si l'anneau unitaire, est-ce que ça implique que tous les modules sur cet anneau sont "unital" ?

3) À quoi sert de supposer que les modules sont "unital" ?

Math Coss

1) Probablement.

2) Non. L'application $A\times M\to M$, $(a,m)\mapsto0$ définit une structure de module. Plus intéressant ? Si $M$ est un $A$-module, par exemple un espace vectoriel sur un corps, on définit une structure de $A$-module sur $M^2$ par $a\cdot (m_1,m_2)=(am_1,0)$.

3) La relation $1\cdot m=m$ est tellement naturelle qu'il est troublant de ne pas l'avoir.

Après, vu que l'application $e:M\to M$, $m\mapsto 1\cdot m$ est involutive ($1\cdot m=1^2\cdot m=1\cdot(1\cdot m)$ pour tout $m$), je suppose que $M=M_0\oplus M_1$ (somme directe de groupes abéliens) où $1\cdot m=0$ (resp. $m$) si $m$ est dans $M_0$ (resp. $M_1$). C'est la diagonalisation des projecteurs, en quelque sorte. Supposer le module unitaire, c'est se débarrasser du facteur directe $M_0$ sur lequel l'anneau n'intervient pas du tout.