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Si les racines de P sont réelles, aussi celles de P' sont réelles

Modifié (November 2023) dans Algèbre
Bonjour
Peut-on démontrer, sans utiliser le théorème de Rolle, que si un polynôme à coefficients réels a toutes ses racines réelles, alors son polynôme dérivé P' a également toutes ses racines réelles.
Le 😄 Farceur


Réponses

  • Modifié (November 2023)
    Oui, en s'appuyant sur le fait que les racines complexes de $P'$ sont dans l'enveloppe convexe de celles de $P$ (écrire la décomposition en éléments simples de $P'/P$ dans $\C(X)$) et la convexité de $\R$ dans $\C$.
  • En supposant $P$ à racines simples dans un premier temps et en étudiant les variations de $t \longmapsto \ln\vert P \vert$ ?
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Modifié (November 2023)
    C'est un peu tricher je trouve car pour lier les variations et la dérivée, le théorème de Rolle est très utile :)
    Après, ma démo utilise le théorème de d'Alembert Gauss mais au moins, on peut le démontrer sans le théorème de Rolle me semble-t-il.
  • Bien vu Jlapin pour le théorème de Gauss-Lucas
    Le 😄 Farceur


  • @ JLapin : on peut faire le lien par le théorème dit fondamental de l'analyse, au moins pour $f$ assez régulière, et sauf si ma mémoire défaille sa démonstration n'utilise pas le théorème de Rolle ni ses variantes.
  • Supposons $f$ de classe $C^1$.
    Alors $x\mapsto \int_a^x f'$ est dérivable de dérivée $f'$ : je suis d'accord, on peut démontrer ça sans Rolle.
    En revanche, pour en déduire que $\int_a^x f' = f(x)-f(a)$, on a besoin de savoir qu'une fonction dont la dérivée est nulle est constante, ce qui est une conséquence de l'inégalité des accroissements finis qui est une conséquence de Rolle :)
    A moins que je ne loupe autre chose.
  • Modifié (November 2023)
    En fait, c'est une question qu'on m'a posée où je sèche lamentablement.
     Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $n$ ayant $m>1$ racines distinctes. Montrer que les dérivées successives de $P$ ont en tout en  total au moins $n + 1 - m$ racines distinctes.  édit : une partie du message a été effacée pour ne pas vous embrouiller.

    Le 😄 Farceur


  • MrJMrJ
    Modifié (November 2023)
    Je ne suis pas sûr de comprendre le résultat à montrer. Que signifie « les dérivées successives de $P$ ont en tout …» ? Est-ce que cela désigne le cardinal de l’ensemble 
    $$\{z\in\C \mid \exists k\in\llbracket 1, n \rrbracket,\ P^{(k)}(z)=0\}\quad?$$
  • Modifié (November 2023)
    En quelque sorte, mais plus simplement, Gebrane parle de la conservation du caractère scindé sur les réels.
  • Modifié (November 2023)
    Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré $n$ ayant $m>1$ racines distinctes. Montrer que les  dérivées successives de $P$ ont en total au  moins $n + 1 − m$ racines distinctes.
    Je crois c'est plus clair.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Une jolie variante de la question initiale du fil.
    Soit $P$ un polynôme à coefficients réels ayant toutes ses racines réelles. Montrer que $P'$ ne peut pas avoir une racine double qui ne soit pas une racine de $P $.
    Avec Rolle, c'est facile, mais sans Rolle ?
    Une indication est donnée Utiliser les relations de Viète, mais je ne vois pas.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (November 2023)
    Salut,
    Si $P\!\in\!{\mathbb R}[X]$ est tel que $P'(0)\!=\!P''(0)\!=\!0$ mais que $P(0)\!\not=\!0$, ça signifie que les racines de $P$ sont non nulles et que les inverses $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ de ces racines  vérifient $\displaystyle\sum_i\lambda_i=\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j=0$ ce qui implique que $\displaystyle \sum_i\lambda_i^2 = \big( \sum_i\lambda_i\big)^2-2\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j=0$ donc les $\lambda_i$ ne sont pas tous réels.
  • Modifié (November 2023)
    Merci Ben, très astucieux.
    Tu t'es ramené à 0 en posant $\tilde{P}(X)=P(X+a)$ avec $a$ une racine double de $P'$ qui n'est pas une racine de $P$. Ensuite, tu as appliqué Viète au polynôme $Q := Q(X) = X^n P\left(\frac{1}{X}\right)$.
    Mais, pour appliquer Descartes, GaBuZoMeu l'applique à $Q(X)=(X-1)P(X)$. Ici, le polynôme $P$  contient un trou de deux zéros : $P(X)=a_nX^n+...+a_3X^3+0X^2+0X+a_0$. Notons que $a_0\neq 0$ puisque $P(0)\neq 0$."
    Le 😄 Farceur


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