Symétrie vectorielle — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Symétrie vectorielle

KcgKcg
Modifié (November 2023) dans Algèbre
 Bonsoir à tous.
 Je cherche à déterminer les caractéristiques de la symétrie $\phi$ définie par :  $\phi(P(X))=P(1-X)$.
Avec $P$ un polynôme de degré inférieur ou égal à n.
 Je sais que cela revient à déterminer $\ker(\phi-Id)$ et $\ker(\phi+Id)$

Mais voilà, je bloque.
 En écrivant $P$ sous la forme   $P(X)=\sum_{i=0}^{n} a_i X^{i}.$
 Je trouve que : 
  $P\in \ker(\phi-Id)$ ssi $\forall i,\ a_i=\sum_{k=i}^{n} a_k(-1)^k \tbinom{i}{k}$
et
$P\in (\phi+Id)$ ssi $\forall i,~ a_i=-\sum_{k=i}^{n} a_k(-1)^k \tbinom{i}{k}$
 Avec ça, je n'arrive plus à avancé. Quelqu'un aurait une idée s'il vous plaît ?

 Ou plus généralement, comment déterminer les fonctions continues $f$ telles que $f(1-x)=f(x)$
 Je vois déjà que les fonctions constantes sont solutions.
Merci d'avance pour vos idées.

Réponses

  • Effectue le changement de variable $Q(X) = P(1/2+X)$ : les équations seront plus simples à résoudre.
  • Serait-ce parce que $1-X=\frac12-\bigl(X-\frac12\bigr)$ ?
  • KcgKcg
    Modifié (November 2023)
    @JLapin en suivant ton indication, voici ce que j'ai : 
     On a 
    $ \begin{align}P(1-X)=P(X) &\Rightarrow P(1/2+(1/2-X)=P(1/2-(1/2-X) \\& \Rightarrow P(1/2+Y)=P(1/2-Y) \end{align}$
     avec $Y=1/2-X.$
     En posant $Q(Y)=P(1+Y)$, j'obtiens alors : $$Q(Y)=Q(-Y)$$ donc Q est pair. Avec $$P(X)=Q(-1/2+X)$$
     Avec ça je n'arrive pas toujours à déterminer $P$.
  • KcgKcg
    Modifié (November 2023)
    Un membre du forum m'a fait remarquer quelque chose de supplémentaire. 
     Comme $Q$ est pair, il s'écrit comme somme de monômes de degré pair. Par suite, de l'écriture $P(X)=Q(-1/2+X)$ on déduit que $P$ est combinaison linéaire des polynômes $(X-1/2)^k$ avec $k$ pair. D'où  
    $\ker(\phi-Id)=vect\{ (X-1/2)^k~,k \text{ pair },\ 0≤k≤n\}$.
  • Parmi les monômes de la base canonique, lesquels sont pairs ?
    Lesquels sont impairs ?
    Généraliser cette observation.
  • KcgKcg
    Modifié (November 2023)
    Merci @JLapin.
     Je suppose que pour résoudre l'équation fonctionnelle $f(1-x)=f(x)$ ,je peux procéder de la même façon et conclure que les fonctions cherchées sont les $f$ telles que : $$f(x)=g(-1/2+x)$$ Avec $g$ paire.
  • Modifié (November 2023)
    Je crois que j'ai déjà posé cette question sur le forum.
    Trouver les polynômes $P$ tel que $P(X)=P(1-X)$.
  • Super merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!