Intégrale impropre nulle sur [n;n+1] mais pas convergente

de saint seine

Bonjour

Soit $f$ une fonction continue de $[0, +\infty[$ dans $\R$ et $u_n := \int_n^{n+1} f(t)dt,\ n ≥ 0.$

On peut avoir la série de terme général $u_n$ convergente et pourtant $\int_0^{+\infty} f(t)dt$ non convergente. (par exemple avec $f:t\mapsto \cos(2\pi t)$).

Où est l'erreur (dans le cas général) lorsque j'écris :

$\sum_0^N u_n=\int_0^{N} f(t)dt$ converge donc $\lim_{N\to\infty}\int_0^{N} f(t)dt=\int_0^{+\infty} f(t)dt$ converge.

JLapin

Il est plus simple pour une fonction définie sur les entier naturels d’avoir une limite en l’infini.

AlainLyon

L''erreur est dans le titre, on note en français l'intervalle $[n,n+1]$!

gerard0

Pour expliciter ce que dit JLapin : 

Le fait que $\lim\limits_{N\in \N,\ N\to +\infty} \int_0^{N} f(t)dt = a$, où $a\in\R$ ne permet pas de savoir si l'intégrale converge. La convergence de l'intégrale nécessite que la limite soit prise sur un voisinage de $+\infty$, qu'on ait une limite pour $N\in \R$. Le contre exemple cité le montre bien.

Cordialement.

de saint seine

Merci !
le coup du voisinage est très clair !