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Matrice de Vandermonde

Modifié (20 Nov) dans Algèbre
Bonjour,
Comment je peux montrer que le déterminent suivant: 
$\operatorname{det}\begin{bmatrix}\frac{1}{y_0-z}&1 & y_0 & \ldots & y_0^{N-1}\\ \frac{1}{y_1-z} & 1 & y_1 & \ldots &  y_1^{N-1} \\ \vdots\\ \frac{1}{y_N+z}& 1& y_N & \ldots & y_{N}^{N-1}\end{bmatrix} =\frac{ \displaystyle\prod_{n<m}(y_{n}-y_{m})}{\displaystyle \prod_{\ell=0}^N(z-y_{\ell})} ?$
J'ai essayé de le montrer dans le cas où $N=2,3$, mais dans le cas général je n'arrive pas à faire le calcul.
Merci d'avance !

Réponses

  • Modifié (21 Nov)
    Bjr, Quand on regarde ta formule, il y a un $y_{2N}$ au dénominateur et je ne vois pas de  $y_{2N}$  dans la matrice..
    Ce qui m'étonne c'est que tu as démontré une formule fausse sur un petit exemple.
    Il y a sûrement plusieurs façons de faire mais si tu connais déjà le calcul d'une matrice Vandermonde, il suffit  de développer le déterminant selon la première colonne et ensuite de réduire au même dénominateur.
    Edit @Niser a corrigé!!
     
  • Modifié (20 Nov)
    On considère le membre de droite comme une fraction rationnelle $F(z)$ à une indéterminée $z$, à coefficients dans le corps des fractions rationnelles en les autres indéterminées et on la décompose en éléments simples. Il y a $N+1$ pôles simples en $y_i$ ($0\le i\le N$), d'où une écriture a priori de la forme $\sum_{i=0}^N\frac{a_i}{z-y_i}$. Le coefficient $a_i$ vaut \[(z-y_i)F(z)|_{z=y_i}=\frac{\prod_{n<m}(y_n-y_m)}{\prod_{m=0}^N(y_i-y_m)}=\pm \prod_{\substack{n<m,\\ n\ne i\ne m}}(y_n-y_m)=\pm V(y_0,\dots,\widehat{y_i},\dots,y_N)\] où le membre de gauche est la fraction $(z-a_i)F(z)$ dans laquelle on a remplacé $z$ par $y_i$ et le membre de droite est le Vandermonde des $y_j$ parmi lesquels on a retiré $y_i$.
    Quant au membre de gauche, on le développe par rapport à la première colonne : le coefficient de $1/(y_i-z)$ est au signe près le mineur correspondant, qui est justement le Vandermonde $V(y_0,\dots,\widehat{y_i},\dots,y_N)$ (toujours au signe près). Il ne reste guère qu'à régler les signes.
  • Il n'y a pas très longtemps je m'étais mis à chercher des fractions rationnelles $f(z)$ telles que $f'/f$ n'a pas de zéro. Cet exercice donne toute une flopée d'exemples.
    Après je bloque.
  • Modifié (21 Nov)
    Je me permets de prolonger l'exercice : Soit une fraction rationnelle complexe $f$ et sa dérivée logarithmique $f'/f$
    $$ f(X) = \prod_{i=1}^{N} (X-z_i)^{m_i}, \qquad \frac{f'(X)}{f(X)} = \sum_{i=1}^N \frac{m_i}{X-z_i} = \frac{A(X)}{\prod_{i=1}^{N}(X-z_i)}$$
    (où, pour chaque $i$, $z_i\in\C$ et $m_i\in\Z^*$, et $A$ est un polynôme de degré au plus $N-1$ dépendant des $z_i$ et des $m_i$).
    Question : quand a-t-on que $A$ est constant ?
    L'exercice donne une condition suffisante : Si tous les déterminants de Vandermonde $V_i = (-1)^{i+1} V(z_1,...,\widehat{z_i},...,z_n)$ sont entiers, alors d'après l'exercice on peut prendre $m_i=V_i$ pour tout $i$. Et en fait il suffit d'avoir $$(m_1:m_2:...:m_N) = (V_1:V_2:...:V_n)$$ Mais est-ce nécessaire ? A la main je trouve que c'est vrai pour $N\leq 3$.
    Après je bloque.
  • Il faut que f’ soit constant non nul, non ?
  • Modifié (22 Nov)
    Bonjour,
    Merci beaucoup à vous tous ! 
    (Et merci @bd2017 d'avoir pointé qu'il y avait une coquille dans la première formule.)
  • @JLapin Pas tout à fait. $f'$ ne doit pas avoir de zéro, mais peut avoir des pôles. Par exemple $(\frac{ax+b}{cx+d})' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$. Les exposants $+1$ et $-1$ sont bien les déterminants de Vandermonde à $2-1=1$ variable.
    Après je bloque.
  • Modifié (21 Nov)
    Désolé, je n'avais pas vu que les exposants $m_i$ sont dans $\Z$. C'est une jolie question effectivement !
  • OK. Avec les notations de mon post précédent, on cherche $N$ complexes $z_i$ (distincts deux à deux, oublié de le préciser) et $N$ multiplicités $m_i\in \Z^*$, tels que la dérivée de $f=\prod_{i=1}^N (X-z_i)^{m_i}$ ne s'annule pas dans $\C$. Soit le polynôme  $P=\prod_{i=1}^N(X-z_i)$. On a :
    $$ \frac{ f'(X)}{f(X)} =\sum_{i=1}^N \frac{m_i}{X-z_i} = \frac{A(X)}{P(X)}$$
    où $A$ est un polynôme de degré au plus $N-1$, et on veut qu'il soit constant. Si on cherche à calculer explicitement $A$ puis qu'on essaye d'annuler ses coefficients de degré $N-1$, puis $N-2$, etc, on ne s'en sort pas. Comme $P$ est à racines simples et que $\deg A<\deg P$, on a plus simplement: $$\frac{A(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^N \frac{A(z_i)}{P'(z_i)} \frac{1}{X-z_i}$$
    Soit $K\in\C$ la valeur constante de $A$. En comparant les deux expressions de $A(X)/P(X)$, on doit avoir pour tout $i$ :
    $$m_i=\frac{K}{P'(z_i)}$$ Reste à relier les $P'(z_i)$ aux déterminants de Vandermonde $V(z_1,\dots, \widehat{z_i},\dots, z_N)$, mais je n'y arrive pas...
    Après je bloque.
  • Modifié (25 Nov)
    Finalement, les $P'(z_i)$ sont bien reliés aux déterminants de Vandermonde puisque pour tout $i$ on a :
    $$ \begin{align} V(z_1, \dots, z_N)
    &= \prod_{a<b} (z_b-z_a) \\
    &= \left( (-1)^{n-i} \prod_{b\neq i} (z_i-z_b)\right) \times \left( \prod_{a,b\neq i, a<b} (z_b-z_a) \right)\\
    &= (-1)^{n-i} P'(z_i) \times V(z_1,\dots, \widehat{z_i},\dots, z_N)
    \end{align}$$
    Donc on peut remplacer la formule $m_i=\frac{K}{P'(z_i)}$ par
    $$m_i = K' (-1)^{n-i}V(z_1,\dots, \widehat{z_i},\dots, z_N)$$
    où $K' = K/V(z_1,\dots, z_N)$ est une autre constante. Après il faut s'assurer que les $m_i$ soient entiers, ce qui n'est pas toujours possible... Pour cela il faut que tous les $P'(z_i)$ soient commensurables, ce qui fait des restrictions sur les configurations de points.
    Après je bloque.
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