Difficulté à prouver que $F_1$ fermé implique $F_n$ fermé

APf

Bonjour, je travaille sur l'exercice suivant.

Problème. Considérez une application linéaire $T: E\to F$ avec $E$ un espace complet et $F$ un espace normé. Montrer que si $F=\{e\in E: \|T(e)\|_{F}\leq 1\}$ est fermé dans $E$, alors $T$ est une application linéaire continue.

Après avoir essayé le problème, j'ai finalement gâché tout en regardant la correction du problème. En lisant le problème, en plus de voir que la clé était de penser au théorème de Baire, ce que j'avais déjà envisagé grâce à une question précédente que j'ai posée ici et que Poirot a utilisé Baire pour le problème. Je vois également que la deuxième étape clé (du moins pour moi) est l'affirmation faite dans la correction :

(A)  «soit pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'ensemble $F_{n}:=\{e\in E\mid \|T(e)\|_{F}\leq n\}$. Comme $F_1$ est fermé par hypothèse, alors $F_n$ est fermé, ce qui est évident.»

Cette étape est cruciale pour appliquer ensuite le théorème de Baire, ce que je peux comprendre. Cependant, je ne comprends pas comment l'affirmation (A) est vraie. De plus, intuitivement, je pense que ces ensembles sont quelque chose comme $F_1\subset F_2\subset \cdots \subset F_n$, donc il est difficile pour moi de comprendre pourquoi, si $F_1$ est fermé, alors $F_n$ est fermé. J'ai des problèmes avec cela, alors voir pourquoi une telle affirmation est évidente ou même pourquoi elle est vraie est difficile pour moi. Tout ce que je sais sur $T$ est qu'il est linéaire, je sais que $E$ est complet (mais je ne sais pas si cela permet également de construire l'affirmation (A) et je sais que $F$ est normé.

Un conseil ?
D'avance merci beaucoup,
Cordialement.

gerard0

Bonjour.

Tout revient à la linéarité de $T$. si $(x_k)_k$ est une suite d'éléments de $F_n$, alors $\frac{x_k}n$ est une suite d'éléments de $F_1$.

Intuitivement, c'est une homothétie.

Cordialement.

NicoLeProf

En passant par les complémentaires cela se voit rapidement il me semble non? Si $F_1$ est fermé alors son complémentaire est ouvert et la suite des complémentaires est décroissante au sens de l'inclusion (vu que l'on considère les complémentaires je dirais). Donc le complémentaire de $F_n$ est inclus dans le complémentaire de $F_1$ qui est ouvert donc le complémentaire de $F_n$ est ouvert. Je pense que ça tient la route non?

APf

Puis-je montrer que ces espaces sont en fait isomorphes, au sens où il existe une application linéaire continue avec une inverse continue, en prenant $, J: F_1\to F_n, e\mapsto ne$? Est-ce que être ouvert ou fermé dans $F_1$ impliquerait être ouvert ou fermé dans $F_n$ ? Merci à tous pour vos réponses. Votre explication rend cela plus clair, pourquoi mon intuition (que j'explique dans le message précédent) présente-t-elle des lacunes ?

Soc

@NicoLeProf. Ben non, on peut être inclus dans un ouvert sans être ouvert

@APf. Il suffit de suivre ce que dit Gerard0. Tu prends une suite convergente dans F4, tu divises les antécédents par 4 pour passer dans F1 puis tu remultiplies par 4. Ton intuition ne te trahis pas vraiment, tu as raison de  ne pas être convaincu par la seule suite d'inclusion. Le problème est que tu n'utilises pas la linéarité et que c'est elle qui fait tout.

APf

Bonjour et merci, alors j'essaie de montrer que $F_n$ est fermé en utilisant une caractérisation séquentielle : soit $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}\in F^{\mathbb{N}}$ et $e\in E$ tel que $e_{n}\to e$. Nous devons montrer que $e\in F_n$. On a $\|T(e_n)\|\leq n$ car $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est une séquence d'éléments de $F_n$. D'autre part, comme $\|T(\frac{e_n}{n})\|=\frac{1}{n}\|T(e_{n})\|\leq 1$ car $T$ est une application linéaire, alors $(\frac{e_n}{n})_{n\in \mathbb{N}}$. On a que $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est une séquence convergente, donc elle est bornée : il existe $C>0$ tel que $\|e_n\|\leq C$. Ainsi, on a $0 \leq \|\frac{e_n}{n}\|\leq \frac{C}{n}\to 0$. Donc $(\frac{e_n}{n})_{n\in \mathbb{N}}$ est une séquence qui converge vers $0\in E$ et comme $F_1$ est fermé, alors $(\frac{e_n}{n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge dans $F_1$ vers $0$. Comment cela implique-t-il que $e\in F_n$ ?

bd2017

Bonjour Tu as fait un  vrai  méli-mélo avec les notations pour arriver à te poser un problème  qui n'a plus rien avoir avec la question.
Ici tu raisonnes avec $n$  fixé.  Alors, s'il te plait, en prenant  une suite dans  $F_n$  évite d'utiliser l'indice $n$  qui ici a une autre fonction.
Donc tu recommences par :  soit une suite $(e_p)_{p\in \N}$    d'éléments de $F_n$  qui converge vers $e.$...

gerard0

Bonjour.

Tu te perds dans la preuve parce que tu utilises le $n$ fixé au départ ("$F_n$") comme indice pour la suite. Contrairement à ce que j'avais fait. Ta preuve devrait commencer par "Soit $n$ un entier fixé. Puis tu prends une suite d'éléments de $F_n$ qui converge dans $E$ et tu montres que sa limite est dans $F_n$. Il n'y a pas de limite nulle, n ne varie pas. Et c'est bien plus rapide que tes 5 lignes. Je t'ai quasiment fait la démonstration en parlant d'homothétie.

Cordialement.

Georges Abitbol

Voici un lemme à démontrer. Soit $E$ un espace normé, $A$ une partie fermée de $E$. Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Posons $\alpha A := \{\alpha v \ \vert \ v \in A\}$. Alors $\alpha A$ est fermé.

Ensuite, APf, il faut que tu fasses des efforts sur les quantificateurs et les variables.

1) Dans la phrase $\forall x, \exists y, x \neq y$, peut-on renommer tous les $y$ en $z$ ? Peut-on renommer tous les $y$ et $x$ ?

2) Pour démontrer $\forall n, \ blablabla(n)$, je te suggère de faire comme ceci : tu choisis une lettre que tu es sûr.e de ne jamais utiliser par ailleurs, par exemple $\spadesuit$. Tu démontres $blablabla(\spadesuit)$. Dans ta démonstration, n'utilise jamais la lettre $n$. Ensuite, à la fin, tu écris "soit $\spadesuit$" au début, tu écris "donc, $\forall \spadesuit, \ blablabla(\spadesuit)$" et ensuite, tu remplaces tous les $\spadesuit$ par $n$. Et voilà !