tr(A^k)=Tr(B^k)

zorg
Modifié (November 2023) dans Algèbre
Soit A et B deux matrices d'ordre $n$ complexes. Comment on montre que $Tr(A^k) = Tr(B^k)$, pour $ k=1,\ldots, n$ implique que c'est vrai pour tout entier $k$. En utilisant Cayley-Hamilton ?

Réponses

  • Comme elles sont complexes, ces matrices sont trigonalisables et on peut exprimer $Tr(A^k)$ en fonction des valeurs propres de $A$ pour tout $k$ (idem pour $B$ et l'exo est faisable avec ça).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Oui, en te servant de ta relation et des identités de Newton tu peux montrer que $A$ et $B$ ont le même polynôme caractéristique. Après, il n'y a plus grand chose à faire.

  • Du coup si tu as ces égalités et des tableaux de Young identiques alors A et B sont semblables.
    (Thm de Weyr)
  • zorg
    Modifié (November 2023)
    Mais peut-on le démontrer sans montrer l'égalité des polynômes caractéristiques  et sans les identités de Newton ?
    J'aimerais montrer que Tr(A^k)=Tr(B^k) pour k = 1,...,n implique Tr(A^k)=Tr(B^k) pour tout k dans N implique polynôme caractéristique de A = polynôme caractéristique de B.

    Pour la dernière égalité j'utilise un système linéaire de déterminant un Vandermonde.
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