Soit A et B deux matrices d'ordre $n$ complexes. Comment on montre que $Tr(A^k) = Tr(B^k)$, pour $ k=1,\ldots, n$ implique que c'est vrai pour tout entier $k$. En utilisant Cayley-Hamilton ?
Comme elles sont complexes, ces matrices sont trigonalisables et on peut exprimer $Tr(A^k)$ en fonction des valeurs propres de $A$ pour tout $k$ (idem pour $B$ et l'exo est faisable avec ça).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Oui, en te servant de ta relation et des identités de Newton tu peux montrer que $A$ et $B$ ont le même polynôme caractéristique. Après, il n'y a plus grand chose à faire.
Mais peut-on le démontrer sans montrer l'égalité des polynômes caractéristiques et sans les identités de Newton ?
J'aimerais montrer que Tr(A^k)=Tr(B^k) pour k = 1,...,n implique Tr(A^k)=Tr(B^k) pour tout k dans N implique polynôme caractéristique de A = polynôme caractéristique de B.
Pour la dernière égalité j'utilise un système linéaire de déterminant un Vandermonde.
Réponses
(Thm de Weyr)