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Un alignement

Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
Modifié (20 Nov) dans Géométrie

Bonjour
Un problème personnel no rencontré dans la littérature géométrique ?
1. ABC   un triangle
2. (I)        le cercle inscrit
3. DEF    le triangle de contact
4. I'          le symétrique de I par rapport à (EF)
5. A''       l'orthocentre du triangle BIC
6. D'        le pied de la D-hauteur de DEF.
Question :             A'', I' et D' sont alignés.

Sincèrement
Jean-Louis

Réponses

  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    Avec Morley inscrit (j'ai renommé $DEF$ en $UVW$):
    % Jean-Louis Ayme - 20 Novembre 2023 - Un alignement

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW du cercle nscrit

syms u v w

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v; % Le suffixe B veut dire conjugué
wB=1/w;

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u); 
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués de a,b,c
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

ip=v+w; ipB=vB+wB; % Point I'
[as asB]=Orthocentre(b,0,c,bB,0,cB); % Point A"
as=Factor(as); % as=2*u^2*(v+w)/((u+v)*(u+w))
[dp dpb]=ProjectionPointDroite(u,v,w,uB,vB,wB); % Point D'
dp=(s1*u-v*w)/(2*u); dpB=(s1B*uB-vB*wB)/(2*uB); 

Nul=Factor(det([ip ipB 1; as asB 1; dp dpB 1]))
% Nul=0 donc I', A", D' sont alignés
    Cordialement,
    Rescassol



  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Modifié (22 Nov)
    Bonjour,
    preuve synthétique ?
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • RescassolRescassol
    Modifié (22 Nov)
    Bonjour
    La droite passant par ces trois points passe également par l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$.

    Cordialement,
    Rescassol
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour Rescassol,

    oui, ce résultat date de 2012...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • pappuspappus
    Bonsoir à tous
    Je rajoute quelques alignements supplémentaires destinés à plonger les alignementistes du forum dans l'épectase la plus complète!
    Ici la droite $HD'H_a$ est la droite de Steiner du point $A''$.
    Bonne nuit et faites de beaux rêves!
    pappus


  • pappuspappus
    Modifié (22 Nov)
    Bonjour à tous
    Je rajoute encore et encore de nouveaux alignements pour nos alignementistes usuels.
    J'ai la flemme d'améliorer mon étiquetage.
    J'ai tracé sur la figure le $A$-cercle de Mention et placé dessus le point $A'''$ tel que la droite $HD'H_a$ soit encore la droite de Steiner du point $A'''$ par rapport au triangle $BIC$.
    Bof!
    Et ReBof!
    Amicalement
    pappus


  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    Pappus, comme tu le demandes si gentiment, voilà:
    % Jean-Louis Ayme - 20 Novembre 2023 - Un alignement

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW du cercle nscrit

syms u v w

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v; % Le suffixe B veut dire conjugué
wB=1/w;

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u); 
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués de a,b,c
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

ip=v+w; ipB=vB+wB; % Point I'
[ha haB]=Orthocentre(b,0,c,bB,0,cB); % Point Ha
ha=Factor(ha); % as=2*u^2*(v+w)/((u+v)*(u+w))
[dp dpb]=ProjectionPointDroite(u,v,w,uB,vB,wB); % Point D'
dp=(s1*u-v*w)/(2*u); dpB=(s1B*uB-vB*wB)/(2*uB); 

NulIpHaDp=Factor(det([ip ipB 1; ha haB 1; dp dpB 1]))
% NullIpAsDp=0 donc I', Ha, D' sont alignés

%-----------------------------------------------------------------------

% Les droites (I'Ha) et permutation circulaire sont concourantes

[pa qa ra]=DroiteDeuxPoints(ip,ha,ipB,haB); % Droite (I'Ha)
F=v*w*(u+v)*(u+w)/(v+w);
pa=Factor(F*pa);
qa=Factor(F*qa);
ra=Factor(F*ra);
% On trouve:
pa=v*w-s1*u; qa=v*w*(s2-u^2); ra=2*(v+w)*(u^2-v*w);
% De même, par permutation circulaire:
pb=w*u-s1*v; qb=w*u*(s2-v^2); rb=2*(w+u)*(v^2-w*u);
pc=u*v-s1*w; qc=u*v*(s2-w^2); rc=2*(u+v)*(w^2-u*v);

NulDtes=Factor(det([pa qa ra; pb qb rb; pc qc rc])) % Égal à 0, donc oui.

% Point de concours des trois droites
[h hB]=IntersectionDeuxDroites(pa,qa,ra,pb,qb,rb);
h=FracSym(h);
% On trouve:
h=2*(s2^2-s1*s3)/(s1*s2-s3); % Ce point est l'orthocentre du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

% Supplément de Pappus - 21 Novembre 2023

% Centre et carré du rayon du cercle circonscrit à ABC
o=2*s1/(s1*s1B-1); oB=2*s1B/(s1*s1B-1); R2=4/(s1*s1B-1)^2;

% Antipode Ap de A dans le cercle circonscrit
ap=Factor(2*o-a); % ap=2*v*w*(s1*u-v*w)/(s1*s2-s3)
apB=Factor(2*oB-aB);

% A', I, D' sont alignés
NulApIDp=Factor(ap*dpB-apB*dp) % Égal à 0, donc oui.

% La droite (A'I) recoupe le cercle circonscrit en A"
syms as % Point A"
Nulas=Factor(numden((as-o)*(as*apB/ap-oB)-R2));
% On trouve:
as=2*s3/(s2-u^2); asB=2*s3B/(s2B-uB^2);

% Symétriques de A" par rapport aux côtés de ABC
[sa saB]=SymetriquePointDroite(as,b,c,asB,bB,cB); 
% On trouve sa=2*u*(s2-2*v*w))/(s1*u-v*w) 
NulSa=Factor(pa*sa+qa*saB+ra)
% On trouve sb=2*v*(u^2+w*u-v*w)/(s1*u-v*w)
[sb sbB]=SymetriquePointDroite(as,c,a,asB,cB,aB); 
NulSb=Factor(pa*sb+qa*sbB+ra)
[sc scB]=SymetriquePointDroite(as,a,b,asB,aB,bB); 
% On trouve sc=2*w*(u^2+v*u-v*w)/(s1*u-v*w)
NulSc=Factor(pa*sc+qa*scB+ra)
% NulSa, NulSb, NulSc sont égaux à 0, donc La droite de Steiner
% de A" par rapport à ABC est [pa qa ra]

%-----------------------------------------------------------------------

% Second supplément de Pappus - 22 Novembre 2023

% Symétrique H' de H par rapport à (BC)
[hp hpB]=SymetriquePointDroite(h,b,c,hB,bB,cB); 
hp=Factor(hp); % hp=2*u*(s1*v*w-u^3)/(s1*s2-s3)

[phpas qhpas rhpas]=DroiteDeuxPoints(hp,as,hpB,asB); % Droite (H'A")
syms at % Point A''' (tierce)
atB=-(phpas*at+rhpas)/qhpas;
NulAt=Factor(Cocyclique(b,0,c,at,bB,0,cB,atB));
% On trouve:
hap=2*u*(u^2+v*w)/(s2+u^2); hapB=2*uB*(uB^2+vB*wB)/(s2B+uB^2); % Point Ha'
at=2*u*(v*w-u^2)/(s2-u^2); atB=2*uB*(vB*wB-uB^2)/(s2B-uB^2); % Point A'''

% Les points Ha', U, I, Ha sont alignés
NulIUH=Factor(u*haB-uB*ha) % 0 donc I,U,Ha sont alignés
NulIUHa=Factor(u*hapB-uB*hap) % 0, donc I,U,Ha' sont alignés

% Symétriques de A''' par rapport aux côtés de BIC
[ta taB]=SymetriquePointDroite(at,b,c,atB,bB,cB); 
% On trouve ta=2*u^2*(v+w)/(s1*u-v*w) 
NulTa=Factor(pa*ta+qa*taB+ra)
[tb tbB]=SymetriquePointDroite(at,c,0,atB,cB,0); 
% On trouve tb=2*v*(u^2-v*w)/s1*u-v*w);
NulTb=Factor(pa*tb+qa*tbB+ra)
[tc tcB]=SymetriquePointDroite(at,0,b,atB,0,bB); 
% On trtouve tc=2*w*(u^2-v*w))/(s1*u-v*w)
NulTc=Factor(pa*tc+qa*tcB+ra)
% NulTa, NulTb, NulTc sont égaux à 0, donc La droite de Steiner
% de A''' par rapport à BIC est [pa qa ra]
    Cordialement,
    Rescassol

  • pappuspappus
    Merci Rescassol pour ces preuves électroniques!
    Jean-Louis Ayme va-t-il s'en satisfaire?
    Amitiés
    pappus
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